Mester László

Szemcsés anyagok új fizikai-mechanikai

elmélete

2009

- 2 -

Tartalomjegyzék

Bevezetés…………………………………………………………………………..3

A szemcsés anyag, mint külön halmazállapot……………………………………..4

A szemcsés anyag halmazállapotokkal összefüggő tulajdonságai…………...6

A szemcsés anyag, mint anyagi állapot…….……………………………….10

Kohézió nélküli szemcsés anyagok fizikai-mechanikai alaptörvényei…………...13

I. törvény……………..……..……………………………………………14

II. törvény……………..……..……………………………………………14

III. törvény……………..……..……………………………………………16

IV. törvény……………..……..……………………………………………23

Feszültségek a kohézió nélküli szemcsés anyagokban…………………………...25

Aktív feszültségi állapot……………………………………………………….....30

Az aktív feszültségi állapot kialakulása………………………………….....30

Függőleges támfalra ható nyomás…………………………………………..35

Boltozatképződés szemcsés anyagokban………………………………………....38

A boltozat kialakulásának feltétele………………………………………….38

A kifolyás jellege…………………………………………………………....43

A boltozat kialakulásának mechanizmusa…………………………………..45

A boltív geometriai egyenlete……………………………………………….46

A garatméretezés elve……………………………………………………….48

Kísérleti eredmények………………………………………………………..51

Feszültségek a kohéziós szemcsés anyagokban…………………………………..53

Oldalnyomás………………………………………………………………...53

Szabad rézsű hajlásszöge…………………………………………………....57

Aktív feszültségi állapot…………………………………………………….62

Összefoglalás……………………………………………………………………...67

Felhasznált irodalom……………………………………………………………...71

- 3 -

Bevezetés

A szemcsés anyagok fizikai-mechanikai elméleti kutatását a XVIII. század óta

Coulomb, majd Rankine munkája nyomán az jellemzi, hogy a szilárd testekre

levezetett feszültséganalízis módszerét alkalmazzák. Mások a viszkózus folyadékok

hasonlóságait vélik megtalálni a szemcsés anyagokban és azok törvényszerűségeivel

írják le az anyag fizikai viselkedését. Véleményem szerint kontinuumokra levezetett

tételek többsége a szilárd, elkülönült szemcsékből álló halmazra nem alkalmazható.

Kiindulásként csak olyan természeti törvények vehetők figyelembe, melyek az

egyetemes anyagra egyaránt érvényesek.

Jelen munka – szakítva az eddigi szemléletmóddal – új nézőpontból kívánja

megragadni a szemcsés anyagok fizikai-mechanikai összefüggését. Ebből

következik, hogy nem tűzte ki célul a témakörben született elméletek kritikai

elemzését, hiszen azoktól függetlenül került sor az új alapok meghatározására. A

kontinuum szemlélettel ellentétben az egyes szemcsék egyensúlyi helyzetét, illetve

mozgási állapotát vizsgálva egyszerű kísérletekre, valamint a newtoni törvényekre és

egy tapasztalati törvényre, a súrlódás törvényére épül ez az új elmélet.

- 4 -

A szemcsés anyag, mint külön halmazállapot

A természetben előforduló anyagok fizikai megjelenési formái igen változatosak. A

Föld felszínének legnagyobb részét óceánok, tengerek, tavak borítják, azaz vizek. A

szárazföld változatosabb: sziklás hegygerinceket, lankás talajjal takart felszíneket és

homokbuckás sivatagokat találunk. Helyenként a felszínt a téli hidegben hó vagy jég

takarja. A felszín felett pedig szél fúj, vagy épp szélcsend van, azaz a levegőt

érzékeljük. Ránk a nap melege süt, és tudjuk, hogy a Nap belsejében megint más

anyagi állapot található. A Föld felszínének legnagyobb részét beborító víz

megjelenési formája önmagában is változatos. Normál hőmérsékleten és nyomáson

folyékony, de a hőmérséklet emelkedésével, egyre gyorsabban párolog és gőz lesz

belőle. Köd vagy felhő keletkezik. A gőz, ha megfagy és kicsapódik a hidegben, hó

hullik, szemcsés anyaggá halmozódik. Ha a hó elolvad, folyadék keletkezik, mely,

ha megfagy szilárd jéggé fagy. Azaz a víz előfordulhat: folyadék, gőz (légnemű), hó

(szemcsés) és jég (szilárd) állapotban. Mindegyik formájában más-más jellemző

tulajdonságokkal rendelkezik és más-más törvényszerűségek szerint viselkedik.

A fizika az anyag főbb megjelenési formáit a halmazállapot szerinti csoportosítással

választja el: plazmaállapot, gáz, folyadék és szilárd halmazállapot. Egyes

anyagfajták nem szoríthatók be egyetlen merev halmazállapot kategóriájába sem,

mert két vagy több állapot tulajdonságait is magukon viselik. Ezek az anyagok

viszont a hasonló halmazállapotú anyagtörvényekre visszavezetve írhatók le. A

szemcsés anyag az említett négy halmazállapot egyikébe sem sorolható. Az anyag

- 5 -

fizikai-mechanikai tulajdonságai pedig nem teszik lehetővé, hogy egy vagy több

halmazállapot fizikai törvényeivel sikeresen írjuk le viselkedését.

A szemcsés anyag olyan nagyszámú, egymással érintkező szilárd testek halmaza,

ahol a szemcsék – mint a halmaz alkotó elemei – a reá ható erők mellett megtartják

alakjukat és a szemcsék között esetlegesen fellépő kohéziós erő lényegesen kisebb,

mint a szemcsék belsejében ható összetartó erő.

A szemcsés anyagok összefüggő fizikai rendszere hiányzik, csupán egyes lényeges,

elsősorban talajmechanikai problémák elméleti feldolgozása ismeretes. Ezen

kérdések megoldására sok és egymásnak ellentmondó eredményre vezető elméletet

alkalmaznak, melyek között egységes fizikai alapokon nyugvó kapcsolat vagy nincs,

vagy vitatható. A szemcsés anyagokkal foglalkozó mechanikai elméletek többsége a

szilárd testekre levezetett feszültséganalízis módszerét alkalmazza, mely módszer

eleve feltételezi, hogy a szemcsés anyag szilárd halmazállapotú kontinuum.

Van olyan felfogás, hogy a szemcsés anyagok a viszkózus folyadékok törvényeivel

közelíthetők, viszkoelasztikus vagy elasztoviszkoplasztikus anyagként viselkednek.

A bonyolult elméleti megoldások egyes mechanikai feladatok megoldásához ugyan

közelítő eredményt szolgáltatnak, de az anyag viselkedésének általános és

megbízható leírásához nem alkalmazhatók.

A szemcsés anyagok halmazállapoti megítélése nem egyértelmű. Ezt tükrözi, hogy

elnevezése sem egységes, például szóródó, porszerű, ömlesztett, szilárd, szemes,

szemcsézett, szemcsés, darás, dercés stb. anyagnak nevezik.

A szemcsés anyag fizikai viselkedése és tulajdonságai olyan minőségi eltérést

mutatnak a többi halmazállapotban előforduló anyagoktól, hogy azok között önálló

kategóriát képviselnek.

A szemcsés anyag idealizált fogalma lehetővé teszi az anyag fizikai viselkedésének,

tulajdonságainak és származtatásának egyszerűsített magyarázatát, hasonlóan a

tökéletes gázok, ideális folyadékok és kristályos szilárd anyagok esetében

alkalmazott feltételezésekhez. Ideális szemcsés anyag az anyag tömegéhez

viszonyított kicsi, de nagyszámú szilárd testek (szemcsék) olyan halmaza, ahol a

- 6 -

szemcsék között vonzerő nem hat és közöttük Coulomb súrlódási törvénye

érvényesül.

A szemcsés anyag halmazállapotokkal összefüggő tulajdonságai

A halmazállapot szerinti kategorizálás alapját az anyag alakjának és térfogatának

önállósága képezi. A három klasszikus halmazállapot jellemző ismérve tehát

- gázok: önálló alakkal és térfogattal nem rendelkeznek;

- folyadékok: önálló alakkal nem, de önálló térfogattal rendelkeznek;

- szilárd testek: önálló alakkal és térfogattal rendelkeznek.

Az önálló alak és térfogat kérdésében a szemcsés anyagra az a jellemző, hogy:

- részben önálló alakja van, a szemcsés halmaz rézsűszögében megáll, de

rézsűszöge alatt a tárolóedény alakját veszi fel. E tulajdonsága a folyadékok és a

szilárd testek közé helyezi.

- részben önálló térfogata van, de korlátozott mértékben összenyomható. A

szemcsés anyag kompresszibilitása a gázok és a szilárd testek összenyomhatósága

között helyezkedik el.

Az anyagok halmazállapotával összefüggő anyagszerkezeti kutatások az alak- és

térfogattartás okát az alkotóelemek tulajdonságaiban és kölcsönhatásában találta

meg. Ezért a modern fizika a halmazállapotok meghatározásánál az anyagra

jellemző legkisebb alkotó elemek mozgási állapotát, egymáshoz viszonyított

helyzetét és kölcsönhatását veszi figyelembe. Ez tette lehetővé, hogy a három

klasszikus halmazállapot mellett egy negyediket, a plazmaállapotot is elfogadta a

természettudomány.

Szükségesnek látszik hangsúlyozni az anyagra jellemző legkisebb alkotó elemek

kifejezést, mert ez a halmazállapotok meghatározásánál alapvető fontosságú. Tehát

- a plazmaállapotú anyagot a molekulák vagy atomok szétesett részei, az atom-

vagy molekulaionok és az elektronok alkotják. A plazmaállapotot az atom- vagy

molekulaionok és elektronok kölcsönhatásai jellemzik, de nem az atom vagy

molekula egyéb részei.

- 7 -

- a gázhalmazállapotú anyag tulajdonságait a gázmolekulák – nemesgázok

esetén atomok – kölcsönhatásai szabják meg.

- a folyadékoknál szintén az atomok illetve molekulák mozgása és egymáshoz

való viszonya a döntő. Víz esetében nem a hidrogén vagy oxigén atomok, és nem a

vízcseppek, hanem a H

O molekulák kölcsönhatásai determinálják a folyadékot.

- kristályos szilárd test esetében a rácspontokban elhelyezkedő atomok,

molekulák vagy ionok hatásviszonyaival magyarázhatók a szilárd halmazállapotú

anyag tulajdonságai és nem pl. az elemi kristályok illetve krisztallitok

kölcsönhatásaival, és nem a rácspontokban elhelyezkedő molekulák felépítésében

résztvevő atomok és annak részeinek egyedi tulajdonságaival.

- szemcsés anyag esetében az anyagra jellemző legkisebb alkotóelem a szemcse.

Az atomi részek, az atomok vagy molekulák, melyekből a szemcsék felépülnek, nem

közvetlen jellemzői – legalábbis nem fizikai értelemben vett jellemzői – az

anyagnak, éppen úgy nem, mint ahogy a gázoknál és folyadékoknál sem az atomok

vagy molekulák felépítésében részt vevő atomi részek, illetve atomok egyedi fizikai

tulajdonságai és kölcsönhatásai jellemzik az anyagot.

A három klasszikus halmazállapot főbb jellemzői az alábbiakban foglalhatók össze:

Gázhalmazállapot: A gázok molekulái – nemesgáz esetében atomjai – a

rendelkezésükre álló térben szabadon mozognak, a véletlen törvényszerűségei

szerint egymással rugalmasan ütköznek. A gázok alkotóelemei saját méreteikhez

viszonyítva igen nagy átlagtávolságra helyezkednek el egymástól, egymásra

erőhatást csak nagyon kis mértékben gyakorolnak. Tökéletes gázokban az

erőhatástól eltekinthetünk. A molekulák transzlációs, rotációs és vibrációs mozgást

végeznek. A gázok a rendelkezésükre álló teret egyenletesen kitöltik, tehát önálló

alakkal és térfogattal nem rendelkeznek.

Folyékony halmazállapot: A folyadékra jellemző legkisebb alkotóelemek az atomok

illetve molekulák között ható erők elég nagyok ahhoz, hogy a hőmozgásból adódó

eltávolodásukat egymástól meggátolják, de nem elég nagy ahhoz, hogy

helyváltoztatásukat megakadályozzák. A molekulák a gázokéhoz viszonyítva kis

transzlációs mozgással rendelkeznek, miközben rotációs és vibrációs mozgást is

végeznek. Az alkotóelemek, mozgásuk és közelségük következtében, állandóan

- 8 -

rugalmasan ütköznek egymással, tehát egymással érintkeznek, ezért a folyadékoknak

állandó térfogatuk van. A molekulák között ható vonzóerő a földi gravitációs

erőtérhez viszonyítva olyan kicsi, hogy az önálló alakképzéshez nem elegendő, így a

folyadékok önálló alakkal nem rendelkeznek.

Szilárd halmazállapot: A szilárd testben az anyagra jellemző legkisebb

alkotóelemek az atomok, molekulák vagy ionok. Helyzetük kötött, kristályos

szerkezetben geometriailag meghatározott, csak rezgőmozgást végeznek. Az

alkotóelemekre nagy erők hatnak, melyek meggátolják a tartós eltávolodást

egyensúlyi helyzetükből. Ezért a szilárd testeknek önálló alakjuk és térfogatuk van.

A szemcsés anyag a három klasszikus halmazállapot főbb halmazállapoti

jellemzőitől lényeges eltérést mutat. Az ideális szemcsés anyag alkotóelemei, a

szemcsék, relatív nyugalomban vannak. Az alkotóelemek között vonzóerő nem hat,

az anyagot a gravitációs erőből származó nyomó-, és a szemcsék felületén ébredő

nyíróerők, - nyugvó súrlódó erők – tartják halmazban. Az erőhatások következtében

az ideális szemcsés anyag rézsűszögéig megáll, tehát önálló alakkal csak részben

rendelkezik. A szemcsés anyag alkotóelemei állandó érintkezésben vannak, ezért

nyugalom esetén térfogata állandó. Nyomás hatására az anyag tömörödik, a

szemcsék kedvezőbb helykitöltésű elrendezést foglalnak el. A szemcsés anyagok a

gázokhoz képest kicsi, de a szilárd anyagokhoz képest nagy kompresszibilitással

rendelkeznek.

Az ideális szemcsés anyag jellemzői az egyes halmazállapotok főbb tulajdonságaitól

az alábbi lényeges eltérést mutatják:

- gázhalmazállapottól: az alkotóelemek egymással állandó érintkezésben vannak

és saját térfogattal rendelkezik;

- folyékony halmazállapottól: részben önálló alakja van;

- gáz- és folyékony halmazállapottól: az alkotóelemek relatív, ütközésmentes

nyugalomban vannak és bennük nyugvó súrlódó erő – nyíróerő – ébred;

- szilárd halmazállapottól: az alkotóelemek között nincs vonzóerő, ezért önálló

alakkal csak részben rendelkeznek.

- 9 -

A szemcsés anyag az anyagi halmazállapotok lényegét érintő tulajdonságaiban olyan

minőségi eltérést mutat, mely külön halmazállapotként definiálását indokolja.

Az anyagi halmazállapotok idealizált esetének rövid, lényeget érintő – a teljesség

igénye nélküli – meghatározása az alábbiakban foglalható össze.

Tökéletes gáz: egymástól távol mozgó, de véletlenszerűen rugalmasan ütköző,

egymásra erőhatást nem gyakorló molekulák (nemesgázoknál atomok) rendezetlen

halmaza.

Ideális folyadék: egymáshoz közel mozgó és folyamatosan rugalmasan ütköző

molekulák halmaza.

Kristályos szilárd: vibráló atomok, molekulák vagy ionok nagy erővel helyhez

kötött rendezett halmaza.

Ideális szemcsés: egymással állandóan érintkező, relatív mozdulatlan szemcsék

olyan halmaza, melyben az alkotóelemek közötti erőhatás a gravitációs súlyerőből

származó nyomó- és az azzal arányos súrlódó erőből tevődik össze, közöttük

kohéziós erő nincs.

A szemcsés anyag külön halmazállapot szerinti felfogása elsősorban mechanikai

szempontból fontos. (A halmazállapot szerinti kategorizálás alapja is mechanikai

eredetű: az alak- és térfogattartás oka az alkotóelemek közötti erőhatásból vezethető

le.) Az anyagi halmazállapotok mechanikai tulajdonságai egymástól

megkülönböztető lényegi eltérést mutatnak:

- a gázok a nyomásnövekedést térfogatuk jelentős csökkenésével követik (a

térfogat és a nyomás szorzata állandó hőmérséklet mellett konstans), tehát

nyomófeszültséget csak részben – a térfogatváltozás rovására – képesek elviselni. A

tökéletes gázokban az alkotóelemek közötti vonzóerő nem lép fel, ezért

húzófeszültség az anyagban nem ébredhet. A nyugvó – nem áramló – gázokban

nyírófeszültség nem ébred.

- a folyadékok kis kompresszibilitással rendelkeznek, mechanikai szempontból

összenyomhatatlannak tekinthetők, ezért nyomófeszültség elviselésére képesek. A

molekulák között ható vonzóerő az egymással állandóan ütköző molekulák

eltávolodását megakadályozza. Egyensúlyi, illetve stabil helyzet csak adott külső

nyomás mellett jön létre, azaz mechanikai szempontból a folyadék húzófeszültséget

nem képes elviselni. (p = 0 nyomás közelében a folyadék megszakad, molekulái

- 10 -

szétrepülnek és gázhalmazállapotba jutnak.) Ideális folyadékokban súrlódás nincs,

valóságos folyadékok belsejében nyugvó súrlódás szintén nem ébred.

- a szilárd testek összenyomhatatlannak tekinthetők és alkotóelemei jelentős

erővel kapcsolódnak egymáshoz, ezért húzó-, nyomó- és nyírófeszültségek

elviselésére képesek.

- az ideális szemcsés anyag kompresszibilitása kicsi, így nyomófeszültség

elviselésére képes. A kohézió nélküli szemcsés anyagban a nyomófeszültség mellett

csak nyírófeszültség ébred, az anyagban húzófeszültség nem lép fel.

A szemcsés anyag, mint anyagi állapot

A szemcsés anyag külön halmazállapot szerinti felfogását nemcsak az egyéb

halmazállapotoktól eltérő fizikai tulajdonságai indokolják, hanem az is, hogy a

szemcsés anyag az anyag egyik megjelenési formája, azaz az anyagnak egyik

meghatározott állapota.

A szemcsés anyag – mint az anyag egész tömegéhez viszonyított kicsi, de nagy

számú szilárd testek halmaza – többnyire nagy méretű szilárd anyag mechanikai

aprításával, aprózódásával keletkezik. Keletkezése, azaz az anyag szemcsés

állapotba hozása azonban nemcsak mechanikai úton lehetséges, minthogy a

természetben előforduló szemcsés anyagok sem csak mechanikai aprózódással

jönnek, vagy jöttek létre. A szemcsés anyag termodinamikailag is előállítható.

Ismeretes, hogy ha a folyadék molekuláinak kinetikai energiája egy küszöbértéket

meghalad, akkor gázhalmazállapotba jut, míg ha egy másik küszöbérték alá süllyed,

akkor szilárd halmazállapotba kerül és megindul a kristályosodás. A

halmazállapotokat jellemző termodinamikai állapothatározók küszöbértékei például

p – t (nyomás – hőmérséklet), diagramban ábrázolhatók. Az 1. ábrán a H

O p – t

diagramja látható. A p – t diagram hármaspontját és az origót összekötő görbe a

szublimációs görbe. A szilárd halmazállapotú jég fázisból a gáz halmazállapotú gőz

fázisba például nyomáscsökkenéssel, a szublimációs görbe átlépésével jut az anyag.

Gőz fázisból viszont visszafelé átlépve a szublimációs görbét nem jég, hanem

szemcsés halmazállapotú hó keletkezik. A szemcsés anyag – víz esetében a hó –

- 11 -

lokális gócokban keletkező kristályosodás eredményeként jön létre. A folyamat

lokális kristályosodásnak nevezhető, melynek fizikai magyarázata abban van, hogy a

kis sebességgel (alacsony hőmérsékleten) transzlációs mozgást végző molekulák, a

1. ábra A H

O p - t diagramja

van der Waals – féle erők vonzási körét nem képesek elhagyni – például hőelvonás

következtében - , tehát a molekulák transzlációs mozgása megszűnik. A molekula

párba újabb molekulák ütközvén, azokat fogva tartva, kristályrácsot alkotnak, majd a

növekvő kristályok hozzák létre a szemcséket. A gázhalmazállapotban lévő

molekulák sűrűsége a szilárd halmazállapot molekulasűrűségéhez viszonyítva

nagyon kicsi, ezért az egymástól relatív távol, lokálisan kialakuló kristályosodási

folyamat elkülönülő szemcsék sokaságát hozza létre, melyek lecsapódva szemcsés

halmazt képeznek.

Állandó hőmérsékleten gáz fázisból szemcsés fázisba hőelvonás mellett juthatunk,

mely az olvadáshő és párolgáshő összege.

A halmazállapotok a p – t diagram fázishatárain változnak. Ha a szublimációs görbét

a szilárd fázisból a gáz fázis irányába lépi át az anyag, gázt kapunk, viszont

megfordítva, gáz fázisból átlépve a görbét, szemcsés anyagot nyerünk. Tehát a

fázishatárok átlépésének iránya szerint a halmazállapotok a következők:

- 12 -

gáz → lokális kristályosodás → szemcsés → olvadás → folyadék → párolgás

→gáz;

viszont, ellenkező irányban:

gáz → kondenzálás → folyadék → fagyás → szilárd → szublimálás → gáz.

Szemcsés fázisból szilárd fázisba azonos fázishatár kétszeri átlépésével jutunk:

szemcsés → olvadás → folyadék → fagyás → szilárd.

Folyadék fázisból szemcsés anyag közvetlenül is létrehozható, ha túlhűtött

folyadékba egyszerre sok, egymástól közel azonos távolságban levő kristálygócot

juttatunk. A kristálygócokból kiinduló kristálynövekedéseket a szomszédos

kristályok akadályozzák meg, melyek geometriai kristály elhelyezkedése nem

szimmetrikus vagy egybevágó, ezért a kristályok között rácserők nem, vagy csak

elvétve lépnek fel, azaz az egyes szemcsék belső kohéziós ereje lényegesen nagyobb

a szemcsék között esetlegesen ható kohéziós erőknél.

A szemcsés anyag alapvető fizikai tulajdonságai lényegesen eltérnek a kémiailag

azonos, de szilárd, folyékony vagy gáznemű állapotú anyagétól. Térfogatsúlya,

fénytörési, hő- és hangtani, elektromos, mechanikai, stb. tulajdonságai és

viselkedése, valamint az a tény, hogy a legtöbb anyag szemcsés állapotba hozható, a

szemcsés anyag külön halmazállapotkénti meghatározását indokolja.

- 13 -

Kohézió nélküli szemcsés anyagok fizikai-

mechanikai alaptörvényei

I. Kohézió nélküli szemcsés anyagokban csak nyomó- és nyírófeszültségek

ébredhetnek.

II. Nyugalomban levő, kohézió nélküli szemcsés anyagokban a függőleges irányú

nyomófeszültségek által ébresztett feszültségek a függőleges iránytól mért





zónában lefelé hatnak. (



az anyag súrlódási szöge.)

III. A kohézió nélküli szemcsés anyag önsúlyából származó oldalnyomás értéke a

mélység (h) és térfogatsúly (γ) szorzatának fele (



), iránya a vízszintestől az

anyagban ébredő súrlódási szöggel lefelé tér el, ha a felszín vízszintes és az adott

mélység felett az anyag a vízszintessel



szöget bezáró teret egyenletesen kitölti.

IV. A kohézió nélküli szemcsés anyagok mindaddig megtartják az őket jellemző

fizikai-mechanikai törvényeket, amíg alkotó elemeik, a szemcsék, megőrzik relatív

nyugalmukat. Amint a szemcsék relatív mozgásba kerülnek – egymással ütköznek -,

a szemcsés anyagok a folyadékok fizikai-mechanikai törvényei szerint viselkednek.

A kohézió nélküli szemcsés anyagok fizikai-mechanikai törvényei statisztikai

jelleggel érvényesülnek, mert maga az anyag különböző szemcsék sokaságából áll.

- 14 -

I. törvény

Az I. törvény a kohézió nélküli szemcsés anyagok fizikai-mechanikai definíciója.

Az ideális folyadékokban csak nyomófeszültségek ébrednek, a kohézió nélküli

szemcsés anyagok csak nyomó- és nyírófeszültségek, míg a szilárd testek nyomó-,

nyíró- és húzófeszültségek elviselésére képesek. A kohézió nélküli szemcsés

anyagok a szilárd testektől abban különböznek, hogy húzófeszültséget nem képesek

elviselni, az ideális folyadéktól viszont abban, hogy bennük nyírófeszültségek is

ébrednek. A folyadékok alkotóelemei ugyanakkor állandó relatív mozgásban vannak

– egymással ütköznek -, míg a szemcsés anyagok alkotóelemei, a szemcsék relatív

nyugalomban vannak.

II. törvény

A II. törvény a függőleges irányú nyomófeszültségek terjedésének irányát

fogalmazza meg. Kísérleti igazolását a szabad rézsű természetes állékonysága

nyújtja (2. ábra).

2. ábra A rézsű lapján lévő szemcse egyensúlyi határhelyzete

- 15 -

A szemcsékből álló halmazban a függőleges nyomófeszültséget a szemcsék önsúlya

hozza létre. Ha a rézsű lapján elhelyezkedő A jelű szemcsére - mely az egyensúly

határhelyzetében van -, a függőleges irányhoz viszonyítva





-nél nagyobb

szögben mutató feszültségvektor hatna a rézsű belsejéből, akkor a szemcse

elvesztené egyensúlyi helyzetét és lecsúszna.

3. ábra A függőleges irányú nyomófeszültségek által ébresztett

feszültségek a vízszintessel



-nél nagyobb szöget zárnak be

A II. törvény helyességét további kísérletek bizonyítják (3. ábra). Amennyiben az A

jelű szemcsére a vízszinteshez képest



szögnél kisebb szöget bezáró

nyomófeszültség hatna, úgy a természetes rézsű hajlásszöge



-nél kisebb lenne. Ha

a függőleges irányú nyomófeszültség például vízszintes feszültséget indukálna, úgy

az a rézsű lapján lévő szemcséket lelökné. Az anyag elterülne és a 4. ábra szerinti

alakot venné fel. Ez azonban nem áll fenn.

4. ábra Ha a nyomófeszültségek vízszintes feszültségeket indukálnának,

akkor a szemcsés anyag elhelyezkedésének ilyennek kellene lenni

- 16 -

III. törvény

A III. törvényben foglaltak szerinti esetekben az oldalnyomás



, és iránya a

vízszintestől az anyag belsejében ébredő súrlódási szöggel lefelé tér el. Bizonyítása a

következő:

5. ábra Vízszintes térszín végtelen térnegyede

Az 5. ábra végtelen kiterjedésű vízszintes felszínű kohézió nélküli szemcsés

anyaghalmaz két egymásra merőleges függőleges síkkal elméletileg kimetszett

részét mutatja, (tehát a vízszintes térszín végtelen térnegyedét ábrázolja,) mely a

mechanikai vizsgálatok síkbeli elvégzésének lehetőségét biztosítja. A II. törvény

szerint az AB szakasz alóli anyagrészből csak az AB sík feletti anyagrész által

kiváltott reakciófeszültségek hathatnak az OA síkra. Amennyiben az OAB

háromszögben található szemcsés anyagot elvennénk, a vízszinteshez



szögben

hajló AB természetes rézsűszögben az anyag megállna. Az OA síkra, tehát csak az

OAB térrészben elhelyezkedő szemcsés anyag önsúlyából származhatnak a

feszültségek. Az AB síkon egyensúlyi határhelyzet áll fenn, a



hajlásszögű lejtőn



tg

súrlódási tényezővel rendelkező anyag még éppen nem csúszik le.

- 17 -

Amennyiben a



lejtőszöget egy igen kis





értékkel megnövelnénk, akkor a

felette levő anyag egyenletesen gyorsuló mozgással lecsúszhatna a





hajlásszögű lejtőn, azaz a tömegével és gyorsulásával egyenes arányú erőhatást

gyakorolna az OA síkra. A szemcsés anyag jellegéből fakadóan végtelen sok





hajlásszögű lejtő létezik, mely feletti anyagok súlya a





szöggel növelt lejtőkön

fejtik ki az AO síkra ható lejtő irányú feszültségeket. Az 5. ábra szerint a Δh-val

növelt mélység eredményeként létrejövő





hajlásszögű lejtőn az ADC

szemcsés anyag a lejtőre önsúlyával (ΔG) és a felette levő anyag súlyával (G)

nehezedik. Az ADC anyagmennyiség a Δh szakaszon támaszkodik meg. A Δh

felületszakasz lejtőre merőleges vetülete

)cos(



 hF

. Tekintve, hogy a

Δh igen kicsi, ezért ott a feszültségeloszlás egyenletesnek tekinthető, így az ott

ébredő lejtő irányú feszültségre felírható:

)cos)(sin(













Az egységnyi hosszúságú térrészben a





ctg

G 

és

,cos

sin2





 h

azaz





ctgh

G 

továbbá

).cos(



 hF

Az egyenletben szereplő (



cossin 

) is kifejezhető:

)cos()sin(



 tg

),sinsincos(cos

cos

sin

sincoscossin









,sin

cos

sin

sincos







)sin(cos

cos

sin











- 18 -

cos

sin







A G, ΔG, ΔF és



cossin 

értékeit a





-ra felírt összefüggésbe helyettesítve:

)cos(

cos

s in

cos





































ctg

)cos (

cos

sin

)(



















hhctg

)sinsincos(cos

cos

sin

)(

sin

cos



















s in

cos

cossin

































hhh

sin

cossin





















hhh



tg

az 5. ábra ACE háromszögéből kifejezhető:

sin

cos









sin

cossin













ezért

sin

cossin





















hhh

sinsin















hhh

2 h

hhh 













hh 



- 19 -

ha Δh igen kicsi, azaz Δh → 0, akkor α →



, tehát





→





, azaz a feszültség

iránya a vízszintessel



szöget zár be.

Tehát

lim











azaz









A levezetés eredményeként megállapítható, hogy a feszültségeloszlás a mélység

függvényében lineáris.

Klasszikus értelemben vett feszültségről a szemcsés anyagok esetében azonban nem

beszélhetünk, mivel a szemcsék érintkezési pontjain keresztül adják át az

erőhatásokat, azaz egy-egy ponton, nem az adott irányra merőleges felületen. Nem

felületen, mert az anyag diszkontinium és a szemcsék csak pontokon érintkeznek

egymással. A feszültség értelme így egy felületre jutó átlagerőként értelmezhető és

ezek az átlagerők adódnak át egyik szemcséről a szomszédos szemcsékre. Ezen erők

iránya és nagysága egy adott felületen statisztikai átlagként érvényesül.

6.ábra A fal melletti szemcsére ható átlagerő felbontása vízszintes és

függőleges összetevőre

Vizsgáljuk meg, hogy az imént levezetett





a vízszintessel



szöget bezáró

feszültség egy függőleges falra mekkora erőhatást gyakorol. A 6. ábrán feltüntetett

- 20 -

szemcsére- melyet oldalról egy súrlódásmentes függőleges fal támaszt meg – a

szomszédos szemcséktől az érintkezési pontokon keresztül erőhatás érkezik. Ezen

erőhatás eredője egyezzen meg a

F

felületre számított





feszültség szorzatával,

azaz az erre a szemcsére ható nyomóerő nagyságát és irányát tekintve megfelel ezen

szemcsés anyag ebben a mélységében rá ható erő statisztikai átlagának. Ez a

szemcse nyomja a függőleges súrlódásmentes falat





vízszintes irányú erővel a

F

falszakaszon az érintkezési ponton. A





függőleges irányú erőt az alatta

lévő szemcse illetve szemcsék veszik fel. A

F

és

F

szakaszok statisztikai

átlagban egyenlő felületek, mert a szemcsék alakját és elhelyezkedését tekintve

statisztikai átlagban gömbök, a gömbök bármely irányban vett vetületei pedig

azonos nagyságú felületek. (Ha egy szemcsés anyag – például rizs – hosszúkás

szemcsékből áll, a szemcsék véletlenszerű elhelyezkedésére való tekintettel azok

bármely irányra vett vetületének átlaga kör, azaz statisztikai átlagban a szemcsék

gömbnek tekintendők.)

Tehát a 6. ábra vektorháromszögére felírható





cos



de mivel

FF 

így





cos

A fenti megfontolás eredményéből következik, hogy a szemcsés anyagban a

feszültségek – egy adott felületre számított átlagerők – vektoriálisan felbonthatók

illetve összegezhetők. A





cos

egyenletből a nyugalmi nyomás tényezőjét a







helyettesítések után megkapjuk, azaz











cos



így

cos







A nyugalmi nyomás levezetésénél eddig csak a vízszintessel



szöget bezáró

irányra merőlegesen ható és önsúlyból származó feszültségek által keltett

- 21 -

nyírófeszültségeket vettük figyelembe. A vízszintes irányú feszültségkomponensek -







cos



- által kiváltott



nyírófeszültségek a függőleges irányú hγ

feszültségeket csökkentik







 cos

-vel,

azaz

cos

sin

cos









így







sin



Tekintettel arra, hogy a szemcsés anyag belsejében felvett OA elméleti síkra (5.

ábra)





feszültségek párosával hatnak, ezért a függőleges irányú hγ feszültségek



-nal csökkennek, tehát



2

azaz

,sin









illetve

)sin1(



 h

Tehát a nyugalomban levő kohézió nélküli szemcsés anyag belsejében ható

feszültségek ábrája megszerkeszthető (7. ábra).

7. ábra Nyugalmi helyzetben ható feszültségek

Amennyiben az 5. ábra szerinti OA sík a szemcsés anyag belsejében felvett elméleti

sík, akkor ott a súrlódás szöge



. Ebben az esetben az OA sík mindkét oldalára





- 22 -

a vízszintessel



szöget bezáró nyomófeszültség hat (7. ábra). Az OA síkon a





-k

elvileg vízszintes és függőleges komponensekre bonthatók (8. ábra). A vízszintes

összetevők







cos



értékűek, merőlegesek az OA síkra és kielégítik az akció-reakció törvényét. A



függőleges feszültségkomponensek pedig kölcsönösen az OA síkra szimmetrikusan

– a függőleges feszültségeket hγ-ra egészítik ki.

8. ábra Nyugalmi helyzetben a vízszintes és függőleges feszültségi összetevők

Amennyiben az 5. ábra szerinti OA sík súrlódásmentes fal, akkor az csak vízszintes

feszültséget képes felvenni, azaz





vízszintes összetevőjét, ami







cos



Ugyanakkor a





függőleges összetevője az OAB anyag függőleges

feszültségkomponensét hγ-ra egészíti ki.

Ha az OA sík érdes, valóságos merev fal, mely az OAB anyagmennyiség

megtámasztására szolgál, akkor a nyugalmi nyomás kialakulása a következők szerint

értelmezhető.

Az OAB anyagmennyiségnek az OA fal mögé történő feltöltését követően nem

alakul ki azonnal a







értéke, mert a ferde feszültséghatás, illetve a falon ébredő

súrlódás miatt az OA síkon súlyerő-felvétel valósul meg. A súlyerő-felvétel

- 23 -

következtében az AB síkra ható erő csökken, ez így nem képes létrehozni a



értékű AB irányú feszültségeket. A frissen betöltött anyag konszolidációs

mozgásának befejeztével nyugalomba jut. A nyugalom eredményeként a falon

ébredő súrlódás nullára csökken, tehát a





feszültségek vízszintes és függőleges

összetevőjükre bomlanak. A függőleges összetevők az OAB anyagban a függőleges

irányú feszültségkomponenseket hγ-ra, illetve az OAB anyag súlyát





ctg

-re

egészítik ki. Ekkor az OA falra a





feszültség vízszintes összetevője hat. Tehát a

nyugalmi nyomás vízszintes összetevője:

,cos









és így a nyugalmi nyomás tényezője (λ):

cos







IV. törvény

A IV. törvény kísérletileg bizonyítható.

A 9. ábrán bemutatott kísérlet eredményeként a szemcsék ütközése következtében a

szemcsés anyag a közlekedő edények törvényei szerint viselkedik.

9. ábra a) nyugalmi helyzet b) vibráció eredményeként kialakult helyzet

- 24 -

A 10. ábrán a γ térfogatsúlyú szemcsés anyagba helyezett γ

nagyobb és γ

kisebb

térfogatsúlyú test a vibráció, illetve szemcsék ütközése eredményeként az edény

aljára süllyed, illetve a szemcsés anyag felszínén úszik, tehát érvényesül Archimedes

törvénye.

10. ábra a) nyugalmi helyzet b) vibráció eredményeként kialakult helyzet

A vibráció következtében a szemcsés anyag alkotóelemei, a szemcsék egymáshoz

ütköznek és ennek hatására bennük a nyomás minden irányban hγ-ra változik.

- 25 -

Feszültségek a kohézió nélküli szemcsés

anyagokban

A III. törvény bizonyítási eljárásánál függőleges síkkal kimetszett vízszintes felszínű

térnegyed vizsgálatát végeztük el. Ha ez a sík a függőlegeshez képest az anyag felé

dől – a vízszintessel β szöget zár be - , és a felszín vízszintes, akkor a korábbi

levezetést általánosítva meghatározható, hogy ezen halmaznak mekkora az

oldalnyomása a β szögű síkban.

11. ábra Vízszintes térszín ferde síkkal határolt végtelen térnegyede

- 26 -

A 11. ábra jelöléseit felhasználva a Δh-val növelt mélység eredményeként létrejövő





hajlásszögű lejtőn az ADC szemcsés anyag lejtőre önsúlyával (ΔG) és a

felette levő anyag súlyával (G) nehezedik. Az ADC anyagmennyiséget lecsúszás

ellen a Δh szakasz támasztja meg. Tekintve, hogy a Δh igen kicsi, ezért ott a

feszültségeloszlás egyenletesnek tekinthető, így az ott ébredő lejtő irányú

feszültségre felírható:

)cos)(sin(













ahol a ΔF a Δh felületszakasz lejtőre merőleges vetülete.

12. ábra A 11. ábra

h

részlete 13. ábra A 11. ábra

F

részlete

Az egyenletben szereplő G, ΔG és ΔF egységnyi hosszúságú térrészre a 11., 12.,

illetve 13. ábrából kifejezhető:

),(





ctgctg

G 

és







sin2

ahol m a 11. ábra segítségével kifejezhető:

)sin(



 zm

, és

)90cos(









így

),sin(

)90cos(











- 27 -

azaz

),sin(

sin











m értékét a ΔG-re felírt összefüggésbe helyettesítve:

sinsin

)sin(















A ΔF értéke a 13. ábra segítségével kifejezhető:

 

,)(sin



 zF

 

.)(sin

sin















cos

sin

cossin





egyenlőség II. törvény bizonyítása során került

levezetésre.

A G, ΔG, ΔF és



cossin 

értékeit a σ

-ra felírt összefüggésbe behelyettesítve:

 

cos

sin

)(sin

sin

sinsin

)sin(

)(



































ctgctg

 

)(sin

sinsin

)sin(

)(

cos

sinsin































hctgctgh

sin)cos(cos)sin(

sin

sincoscossin

)cossin(

cos

sin





























hctgh

)cos ()sin(

)cossin()cossin(

cos























ctg

ctghctgh

)cos()sin(

cossin

cos2

























ctg

hhh



ctg

a 11. ábra ACE háromszögéből a 12. ábra ADF háromszögének

felhasználásával kifejezhető:

AFCD

ctg







ahol:



sin

CD 

és

)cos(



 zAF

- 28 -



sin

)90cos(











ezért

)cos(

sin











így

)cos(

sinsin

ctg















mivel

),sin(

sin











)sin(

sin

)cos(

sinsin























ctg

)sin(sin

)cos(sinsin













ctg

);(

)sin(sin

sin













 ctg

ctg



ctg

értékét





összefüggésébe behelyettesítve:

)cos (

)sin(

)sin()cos (

)sin(sin

cossin

cos2







































ctg

hhh

)cos()cos(

sin

cossin

cos2































ctg

hhh









cossin

sin)cossin)((

2 





ctghhh

),1(





tgctg







ha Δh igen kicsi, azaz Δh → 0, akkor α →



, tehát





→





, azaz a feszültség

iránya a vízszintessel



szöget zár be.

Tehát

),1(

lim









tgctg





- 29 -

azaz























tgh





vízszintes összetevője pedig:

)

sin

(cos











A sík vízszintessel bezárt hajlásszögének, β-nak három különleges értékét vizsgálva

megállapítható, hogy ha





, akkor

0





, azaz szabad rézsűben megtámasztás

nélkül megáll a kohézió nélküli szemcsés anyag.

90



, akkor e síkra ható nyugalmi nyomás értéke:









illetve







cos









, akkor a síkra ható nyugalmi nyomás értéke:









sin1

2 



illetve



















- 30 -

Aktív feszültségi állapot

Az aktív feszültségi állapot kialakulása

Nyugalomban levő, kohézió nélküli szemcsés anyagot megtámasztó függőleges fal

kismértékű vízszintes irányú elmozdulása – elbillenése – az anyagban expanziót

okoz. A vízszintes irányban történő támfalelmozdulást az anyag mozgása fellazulva

követi, mely az anyag belsejének egy adott pontja szempontjából relatíve két irányú

elmozdulásként jelentkezik. Az expanziót követő elmozdulás eredményeként a

nyugalmi nyomás vízszintes feszültségkomponensei által mobilizált

nyírófeszültségek hatása megszűnik (felszakad). Az anyag belsejében a relatíve két

irányú elmozdulás a függőleges irányú nyírófeszültségeket párosával szakítja fel,

ezáltal a függőleges feszültség hγ-ra növekszik. Ezzel egyidejűleg az anyag

konszolidációs mozgása is bekövetkezik.

14. ábra Feszültségi modell nyugalmi helyzetben

- 31 -

A 7. illetve 8. ábra függőleges feszültsége (nyugalmi helyzet) felbontható két azonos

irányú és nagyságú feszültségre (14. ábra). Az így nyert feszültségi modell

változásával magyarázható a vízszintes felületű, kohézió nélküli szemcsés

anyagokban az aktív feszültségi állapot kialakulása. Az expanzió hatására felszakadt

nyírófeszültségek a 14. ábra feszültségi modelljét a 15. ábra szerintire változtatja.

15.ábra A feszültségi modell változása aktív állapotban

A konszolidációs mozgás a legnagyobb feszültségek, azaz a feszültségek eredőinek

irányában következik be. A feszültségpárok eredőinek iránya – a 15. ábrából

leolvasható – a vízszintessel





szöget és egymással





szöget zárnak

be. E feszültségi állapot a ható (eredő) feszültségi irányokat tekintve tehát

megegyezik a Rankine-féle aktív feszültségi állapottal. A konszolidációs mozgást az

feszültség indítja meg. E mozgást az

feszültségre merőleges

feszültség



-szerese csökkenti, azaz az

feszültség nyírófeszültséget mobilizál. A

vízszinteshez





szögben hajló irányban érvényesülő K feszültség nagysága

tehát



tgRRK 

feszültség két feszültség. Az

és

feszültség a 16. ábra feszültségi vektor

ábráiból kifejezhető.

feszültség két feszültség összegeként jelentkezik, melynek erre az irányra vett

feszültség-komponenseinek összege (

) ébreszti a nyírófeszültséget.

- 32 -

16. ábra Az eredő feszültség által megindított mozgás nyírófeszültséget mobilizál

45sin

















és

45cos

















így

45cos

45sin





































htghK

A K eredő feszültség vízszintes komponense:

45cos

















45cos

45sin

0200



















































tghhK

 

,sin1

452sin



































tghK

mert

 

,sin1

45cos



















ugyanis

sin

cos

45cos











































- 33 -

cos1

45cos































































cos1



cos1



















 

.sin1





 

,s in1

cos

sin

cos



















 

cos

sin1sincos









cos

sinsincos









cos

sin1

























A K eredő feszültség függőleges komponense

45sin



























































45cos

45sin

0002









htghK

mivel

 



sin1

45sin

















és





cos

45cos

45sin































így

 

,cossin1



 tghK

,cos

cos

sin

sin1























- 34 -

A K eredő feszültség

KKK 















































































45cos

45sin





45cos

45sin

0202



















































45cos





















45cos





















A K értékét összehasonlítva a





értékével – mely



- belátható, hogy a K

nagyobb. Ezért expanzió esetén illetve a szemcsés anyagot megtámasztó fal

jelentősebb elmozdulása esetén az anyag mozgási iránya a vízszintessel





szöget zár be.

Az expanzió következtében tehát a mozgást elindító feszültség a 17. ábra szerinti.

17. ábra Aktív állapotban a mozgást elindító feszültség

- 35 -

A mozgás a feszültségek eredőinek irányában, tehát a vízszintessel





szöget

bezáró irányban valósul meg. Az anyag teljes mennyiségében mozog, azaz végtelen

sok a vízszinteshez





szögben hajló csúszólap alakul ki.

A K eredő feszültség vízszintes összetevője



, azaz





























45sin

45cos



































45cos

45sin

























Függőleges támfalra ható nyomás

Ha a vízszintes felszínű kohézió nélküli szemcsés anyagot valóságos súrlódásos

függőleges fal támasztja meg és elmozdulása következtében az anyagban expanzió

következik be, a falra ható feszültségek a falon ébredő súrlódás szögének (δ)

ismeretében meghatározhatók:

A falra





nagyságú és a vízszintessel δ szöget bezáró feszültség hat. E feszültség



sin

-szorosa csökkenti a



függőleges feszültséget







sin



-ra. A

függőleges feszültséggel egyenesen arányos a vízszintes feszültség összetevő: a





cos

, éppen úgy, mint ahogy az anyag belsejében ható feszültségi modellben a

- 36 -



függőleges és a





cos

vízszintes feszültségi összetevő aránya állandó. Tehát

az aránypár felírható:











cos

sin

cos











kifejezhető:

























cossincos

cos

hhh









cos

cossincos











cos

)cossin(cos











coss incos

cos

2 







vízszintes összetevője







cos







coss incos

coscos

2 











cos1

cos

2 



A kapott eredmény megmutatja, ha a támfalon nem ébredne súrlódás, úgy arra a

nyugalmi nyomás hatna; megfordítva: a nyugalmi nyomás kialakulásakor a támfalon

nem ébred súrlódás. Ezt a modellkísérletek tapasztalatai igazolják.

Ha a támfalon ébredő súrlódás megegyezne a szemcsés anyag belsejében ébredő

súrlódással, azaz





, akkor a támfalra az az aktív nyomás hatna, amely az anyag

belsejében is uralkodik aktív feszültségi állapotban. Ha a



nem éri el a



értékét,

úgy a támfal mellett átmeneti – a nyugalmi és aktív nyomás közötti – állapot

uralkodik.

- 37 -

Száraz homokkal – kohézió nélküli szemcsés anyaggal – a múltban többen végeztek

kísérleti méréseket az oldalnyomás meghatározására. Pontosság és a modell mérete

szempontjából Terzaghi 1929-ben elkezdett kísérletei emelkednek ki közülük, ahol a

támfal 2,1 méter magas és 4,2 méter hosszú merev vasbetonszerkezet volt. A

homokszekrény űrtartalma 37

volt és a fal elmozdulását 0,0025 mm

pontossággal mérték. A kísérleti eredményeket az alábbiak szerint foglalhatók össze:

Amíg a támfal mozdulatlan volt, addig arra

42,0



E 

nagyságú és vízszintes

irányú nyugalmi nyomás hatott. A falnak kismértékű elmozdulásakor az

oldalnyomás lecsökkent, majd a támfal további elmozdulása, elbillenése

következtében az oldalnyomás vízszintes összetevője

29,0



érték közelében

állandósult, miközben a támfalon ébredt súrlódás szögének tangense

54,0



érték közelében mozgott. A homokban kialakult az expanzió, a fellazulás és a térszín

a elmozduló fal közelében lesüllyedt.

A mért értékek jól egyeznek az imént levezetett elméleti képletekkel kapott

eredményekkel:

- a nyugalmi nyomás tényezője,

42,0



volt,

cos







42,02cos 



85,32



, mely száraz homokra jellemző érték.

- a súrlódásos támfalra ható nyomás vízszintes feszültségi összetevője:







cos1

cos

2 



a mért érték

84,0cos 



és

54,0



84,054,01

84,0

2 







2889,0



azaz a számított 0,2889≈0,29 körüli mért értékkel igen jó egyezést mutat.

- 38 -

Boltozatképződés szemcsés anyagokban

A boltozatképződés jelensége a szemcsés anyagok mechanikájának egyik

alapkérdése. A boltozat kialakulásának elméleti tisztázása lehetővé teszi az olyan

közvetlen gyakorlati probléma megoldását, mint a szemcsés anyagok ömlesztett

silós tárolását, illetve a biztonságos kitárolást. A silók garataiban az anyag gyakran

összeáll, vagy boltozat képződik, mely a gravitációs kitárolást megakadályozza.

A boltozat kialakulásának feltétele

A boltozat kialakulását minden esetben az anyag egy részének elmozdulása váltja ki.

Ez a mozgás származhat a konszolidációból, tömörödésből vagy például a garat

alján levő zsilip kinyitását követő anyagmozgásból. Az elmozdulás következtében az

anyagban levő feszültségek átrendeződnek úgy, hogy a helyben maradó

megtámasztó rész veszi át az elmozduló rész feszültségeinek egy részét is. Ha az ily

módon kialakult feszültségek elég nagyok és irányuk is megfelelő, akkor az

anyagban kialakul a boltozat, mely a további elmozdulást már meggátolja. Az

elmozdulás boltozatkialakító hatása akkor érvényesül, ha az anyagnak elmozdulása

során fajlagos alakváltozást kell elszenvednie, azaz például szűkülő

keresztmetszeten kell átjutnia.

- 39 -

Az előbbi megfontolások alapján a boltozat kialakulásának követéséhez,

kiindulásként egy végtelen hosszú, szűkülő keresztmetszetű szimmetrikus vályú

választható, melyben kohézió nélküli szemcsés anyag van (18. ábra).

18. ábra A vályú méretei

Feltételezzük, hogy az anyag térfogatsúlya (



) a mélység függvényében nem

változik és a betöltést követően nem tömörödik. A függőlegeshez β szöggel kifelé

hajló sík és merev oldalfalú vályú

szélességű alsó nyílását elmozdítható fenéklap

zárja le. A végtelen hosszúság feltételezése az eset síkbeli vizsgálatát teszi lehetővé.

A vályú fenéklapjának elvétele után az anyag elmozdul – ki akar folyni – és a

szűkülő keresztmetszet miatt fajlagos alakváltozást szenved, tehát a modell biztosítja

a boltozat kialakulásának előzőkben vázolt feltételeit.

Amennyiben a szemcsés anyag nyugalmi helyzetben van és az oldalfalak merevek,

az anyag belsejében kialakul a nyugalmi nyomás, tehát függőleges irányban hγ és

vízszintes irányban λhγ, ahol λ a függőleges és vízszintes nyomás hányadosa, azaz a

nyugalmi nyomás tényezője.

A függőlegeshez β szöggel kifelé hajló oldalfalra ható feszültségek, illetve a

feszültségek eredő ereje (E) nagyság és irány szerint a 19. ábra alapján

meghatározható:

- 40 -

19. ábra Szemcsés anyaggal töltött zárt fenéklapú vályú erőegyensúlya

a függőleges sík és a β szöggel kifelé hajló oldalfal közötti anyagrész súlya:





G 

a vízszintes irányú nyugalmi nyomás eredő ereje:





E 

A vektorháromszögből az eredő erő:





E 

Az eredő erő vízszintes síkkal bezárt hajlásszögére felírható:

tg 



azaz







tg 

Amennyiben α irányú erőt,illetve feszültségeket az oldalfal a súrlódás miatt fel tud

venni, akkor a fenéklapra csak függőleges irányú és hγ nagyságú feszültségek

hatnak. Ez akkor áll fenn, ha





ahol δ az oldalfalon, a fal és az anyag

között ébredő súrlódás szöge.

A vályú kifolyónyílását elzáró vízszintes lap elvétele után az anyag belsejében

nyírási síkok alakulnak ki, tekintve, hogy a szűkülő keresztmetszeten az anyag csak

- 41 -

nyírás útján tud átjutni. Ha





, azaz a vízszintes lapra korábban csak

függőleges feszültségek hatottak, akkor a nyírás síkja függőleges lesz. Ugyanis az

anyag azon a felületen nyíródik el, melyhez a legkisebb erő szükséges. A kohézió

nélküli szemcsés anyag nyírásához szükséges erőt a Coulomb egyenlet

felhasználásával a



tgAF



összefüggés fejezi ki, ahol

A ─ a nyírt felület,



─ a nyírt felületre ható merőleges feszültség,



─ az anyag súrlódási szöge.

A legkisebb nyíróerő a függőleges sík elnyírásához szükséges, mivel itt a legkisebb

a nyírt felület és a vízszintes irányú feszültségek is e síkban a legkisebbek. (A

vízszintes feszültségek mindig kisebbek, mint a függőleges vagy közbensőirányúak)

Tehát a nyírás síkja a függőleges.

A vályú B és D pontjából egy-egy függőleges irányú nyírási sík akkor alakul ki, ha a

b nyílás fölötti anyagrész súlyából származó függőleges irányú erő megegyezik a két

sík nyírási erőszükségletével:







hb 

azaz



tghb 

Ha a b méret ezen értéknél nagyobb, akkor a



tgh

szélességű anyag egy tagban

szakad ki és a vályú teljes b nyílásáig a – fellépő nyírófeszültségek hatására –

magával ragadja a többi anyagrészt.

Amennyiben a



tghb 

, akkor csupán két függőleges irányú nyírási felület

alakul ki a vályú kifolyónyílását elzáró lap elvétele után. Ekkor az anyag belsejében

a nyírási síkon nyírási feszültségek ébrednek, melyet a



 hb

függőleges irányú

súlyerő hív életre. A függőleges F nyíróerőket a nyírási sík és a vályú oldalfala

közötti anyagrész veszi fel, átadva azt az oldalfalakra. Az oldalfal ezt a függőleges

irányú plusz erőt csak akkor képes maradéktalanul felvenni, ha az eredő erő (

)

nem lép ki az oldalfalon ébredő súrlódási szögből.

- 42 -

20. ábra A vályú fenéklapjának eltávolításakor az erőegyensúly

A 20. ábra vektorpoligonján jól látható, hogy az

eredő erő akkor nem lép ki a δ

súrlódási szögből, ha az oldalfal dőlésszöge és az ott ébredő súrlódás elég nagy, azaz





. A vektorábrából a határesetre felírható

.)(







Az F nyíróerő a nyílás feletti anyagsúly fele, mivel két nyírási síkra oszlik meg,

tehát



F 

továbbá







és





E 

Behelyettesítve F,

és

értékeit a tg (β+δ)-ra felírt összefüggésbe:

)(











hbh





egyszerűsítve:

tghb









 )(

tehát, ha



tghb 

, akkor a vályú alsó nyílásából kiindulva egy-egy nyírási sík

keletkezik és a köztük levő anyagrész súlyát a nyírófeszültségek áthelyeződése révén

az oldalfal akkor tudja felvenni, ha

.)(

tghb











- 43 -

Ebben az esetben az anyag nem tud kifolyni és a nyílás fölött kialakul a boltozat. A



tghb 

és a

)(



tg

-ra kapott összefüggésből a

viszony kifejezhető:







tgtg

 )(

A kohézió nélküli szemcsés anyagban a boltozat kialakulásának feltételét e két

egyenlőség illetve egyenlőtlenség fogalmazza meg.

A boltozat kialakulásának eredő erőkkel számolt megoldása szerint az F nyíróerő a

nyugalmi helyzet E eredő erejének támadáspontját a vályú alsó nyílása felé téríti el.

helyzetét az E és F erők hatásvonalának metszéspontja határozza meg. Az

eltérés a β szög növekedésével áll egyenes arányban. A gyakorlati számításoknál ez

az eltérés figyelmen kívül hagyható. Ugyanis a β szög jelentős növelése esetén a

boltozat már közvetlenül az anyagra és nem az oldalfalra támaszkodik (lásd később).

A kifolyás jellege

Az előzőekben levezetett boltozati feltételekkel értelmezhető a vályúból kifolyó

szemcsés anyag kifolyásának jellege akkor, ha valamelyik feltétel nincs teljesítve.

a) Ha





, azaz



tgtg

 )(

, akkor az oldalfal nem képes teljes

egészében felvenni a nyírófeszültségek áthelyeződése miatt megváltozott eredő erőt.

Az E eredő erőnek az oldalfallal párhuzamos szabad összetevője az oldalfal mentén

megindítja az anyag csúszását. A függőleges nyírási sík és az oldalfal közötti

anyagrész is megmozdul és tömegfolyás alakul ki (21/a. ábra).

- 44 -

21. ábra Jellegzetes kifolyások: a) tömegkifolyás; b) alagútfolyás

b) Ha





, azaz



tgtg

 )(

, de



tghb 

illetve





akkor ugyan az oldalfal fel tudja venni az eredő erőt, de a nyílás fölötti anyag

súlyereje nagyobb, mint a kiszakadást meggátló nyíróerő, ezért a b szélességű anyag

függőlegesen kifolyik, míg a mellette levő anyagrész – a függőleges nyírási sík és az

oldalfal közötti rész – helyben marad, majd felülről folyik hozzá a függőlegesen

mozgó anyagrészhez. Kialakul az alagútfolyás (21/b. ábra).

Könnyen belátható, hogy a kifolyás jellegét nem csupán a vályú dőlésszöge és

falsúrlódása határozza meg, hanem az anyag nyírási ellenállása, súrlódási szöge,

illetve nyomásviszonyai is. Silókban megfigyelhető, hogy egyes szemcsés anyagok

először tömegkifolyással, majd később alagútkifolyással ürülnek, bizonyítva azt,

hogy a garatban uralkodó nyomásviszonyok is befolyásolják – bár kisebb

mértékben, mint a garat dőlésszöge és súrlódása – a kifolyás jellegét. Búzával és

homokkal különböző dőlésszögű garatokkal végzett kísérleteinknél (egyazon

garatnál és anyagnál) először tömegfolyást, majd az ürítés folytatásakor

alagútfolyást figyelhetünk meg. Az anyagkifolyás jellegének változása az előre

számított magassági értéknél következett be.

- 45 -

A boltozat kialakulásának mechanizmusa

A boltozat kialakulásának feltétele tehát, hogy a vályú alsó nyílása fölötti anyag

súlyereje kisebb legyen, mint a nyírási síkokon ébredő nyíróerők összege és az

oldalfalakra ható erőket az oldalfalak a dőlésszögük és falsúrlódásuk következtében

fel tudják venni.

A vályú alsó nyílását elzáró lap elvétele után ébredő nyírófeszültségek az oldalfalra

helyeződnek át, és az ott ható feszültségekkel összegeződnek. Ezek az eredő

feszültségek alakítják ki a boltozatot. A boltozati felület újabb

feszültségátrendeződés eredményeként jön létre.

22. ábra A boltív feszültségátrendeződés következtében alakul ki

A vályú B és D éle között az eredő feszültségek vízszintes összetevőinek eloszlása a

22/a. ábra szerinti. Azokon a helyeken, ahol a nyomófeszültségek vízszintes

komponensei kevésnek bizonyulnak az anyag gravitáció elleni megtámasztására – a

nyírási ellenállása kisebb, mint a gravitációból származó súlyereje – ott az anyag

kipereg. A kipergés következtében a feszültségek átrendeződnek, feltehetően a 22/b.

ábra szerint úgy, hogy elegendő nyomófeszültség legyen az anyag megtartásához. A

kipergés akkor szűnik meg, ha a boltozati felület minden pontján azonos, a kipergés

szempontjából kritikus nagyságú, vízszintes irányú feszültségkomponensek hatnak.

Az a tény, hogy a boltív minden pontján azonos nagyságú vízszintes

- 46 -

feszültségkomponensnek kell hatnia, lehetővé teszi a boltív geometriai alakját leíró

egyenlet meghatározását.

A boltív geometriai egyenlete

Ismeretes, hogy ha egyenletesen megoszló terhelés alátámasztására olyan

másodfokú parabolát használunk, melynek végpontjában csak tangenciális feszültség

ébred, akkor a parabola minden pontján csak parabola irányú és azonos nagyságú

vízszintes komponensű feszültség ébred. Az ilyen parabolát hajlító nyomaték nem

terheli, mely szükséges feltétel. A hajlító nyomaték húzási és nyomási feszültségeket

ébresztene, melyet egy szilárd test felvehet, de a kohézió nélküli szemcsés anyag

húzófeszültségeket nem képes elviselni.

A vályú B és D pontjában β+δ irányú, azonos nagyságú feszültség hat, míg a boltív

felett közel egyenletesen megoszló terhelés nyugszik. A β+δ irány és a b

nyílásszélesség a parabolát egyértelműen meghatározza. A fenti tulajdonságokkal

rendelkező parabola emelkedésének maximuma:

)(



 tg

Az y koordinátatengely a vályú nyílásának szimmetriasíkjában helyezkedve, az x

tengely pedig a B és D pontokon át fektetve (23. ábra) a parabola csúcspontja az y

tengelyt C magasságban metszi.

23. ábra A boltív parabolája

- 47 -

Az y tengelyre szimmetrikus és lefelé futó másodfokú parabola egyenletének

általános alakja:

CAxy 

mivel f=C, így

)(



 tg

A parabola egyenletének az első differenciálhányadosa

x 

helyen

)('



 tgy

, tehát

CAxy 

Axy 2' 

és

2)(

Atg 



A kifejezhető:

)(



 tg

A és C értékét a parabola általános egyenletébe helyettesítve:

)(



 tg

)(

















 tg

a boltív geometriai egyenletét kapjuk. A

)(



tg

a boltozati feltételt

megfogalmazó egyenletből behelyettesíthető:

tghb





















Van olyan eset, amikor a boltív a fenti egyenletben megadott alaknál laposabb. Ez

akkor következik be, ha a vályú β dőlésszöge nagy. Ekkor a boltív az anyag egy

olyan síkjára támaszkodik, mely a függőlegessel ε szöget zár be és ε<β. Az

anyagban a súrlódás szöge



, tehát a boltozati feltételt megfogalmazó és a

geometriai alakot leíró egyenletben a β+δ értékei helyébe az





lép:

,)(



tgtg



)(

















 tg

- 48 -

A boltív akkor támaszkodik közvetlenül az anyagra, amikor





kisebb β+δ-nál.

Ha a két boltozati feltétel közül a

arányt a



tgtg  )(

egyenlet

korlátozza, a határeset azonos

aránynál áll fenn

.)()(



tgtgtgtg 

A határesetre felírt fenti egyenlőség csak bizonyos





értékek esetén ad az ε-ra

megoldást, mert az egyenlet másodfokú és diszkriminánsa δ és



arányától függően

negatív lehet. Ha a diszkrimináns negatív, akkor a boltív továbbra is a vályú

oldalfalára támaszkodik. Ha a diszkrimináns pozitív, akkor a boltív geometriai

alakját az

)(

















 tg

egyenlet írja le.

Ha a boltozati feltételek közül a

arányt a



tg

korlátozza, akkor ε szög az

alábbi összefüggésből számítható:



tgtgtg  )(

A garatméretezés elve

Szemcsés anyagokban a boltozat kialakulásának feltételét megfogalmazó

összefüggések olyan garatok méretezését teszi lehetővé, melyekből az anyag

gravitációs kifolyása biztosítható és a garat helyigénye a legkisebb.

Amennyiben a boltozati feltételek egyike nem teljesül, akkor a gravitációs kiömlés

biztosítható. Ha





- 49 -



tgtg

 )(

akkor a gravitációs ürítés alagútfolyással következik be. Ha viszont



tgtg

 )(

akkor az ürítés tömegkifolyású.

A garatok méretezésénél általában cél a legkisebb kifolyónyílás mellett a

tömegkifolyás biztosítása úgy, hogy a garat függőleges mérete a lehető legkisebb

legyen. A méretezés elvi menete kör keresztmetszetű garatra az alábbi.

Körszelvényű garatoknál a b nyílásszélesség helyett r sugarú kiömlőnyílást kell

alkalmazni, így a









egyenlet helyett értelemszerűen







rhr



írunk, melyből





A garatméretezés előtt meg kell határozni a szemcsés anyag belső súrlódási szögét, a

garat felületén ébredő súrlódási szöget és a térfogatsúlyt. A súrlódási szögek

nyírókísérletekkel határozhatók meg. A nyíródobozba töltött anyagra adott normál

terhelések feleljenek meg a garatban várható nyomásértékeknek. A δ súrlódási szög

méréséhez célszerű a garat anyagából betétlemezt készíteni a nyíródobozhoz. A

nyíródoboz nyírási síkjába helyezett betétlemezre rátöltjük a szemcsés anyagot, és

nyírókísérletekkel meghatározzuk a súrlódás szögét. Amennyiben a garatban az

anyag huzamosabb ideig tartózkodik, akkor ennek megfelelő reológiai méréseket

kell végezni: a mintára ható normál terhelések idejét változtatva végezzük el a

nyírást. Az idő logaritmusában ábrázolt anyagjellemzők görbéinek tendenciájából jól

lehet következtetni a huzamosabb tárolás során várható anyagjellemzők értékére.

Amennyiben a szemcsés anyag kohézióval is rendelkezik, illetve a tartós tárolás

során kohéziót nyer, úgy a nyírási egyenes adott normál feszültségértékéhez az

- 50 -

origóból húzott egyenes vízszintes tengellyel bezárt hajlásszöge, mint a belső nyírási

ellenállás szöge (effektív súrlódási szög) vehető figyelembe (lásd később).

24. ábra Garatméretezési szerkesztés

A garatméretezés elvi menete a következő:

1. Meghatározzuk a kritikus

k 

értékét a



tg

segítségével, mely

cos







helyettesítésével:

;

sin





2. A 24. ábra szerint felvesszük a garat szimmetriatengelyét és különböző

arányú egyeneseket szerkesztünk;

3. A

egyeneshez tartozó



garat-dőlésszögét kiszámítjuk a



tgtgk  )(

összefüggésből:







tgktgtgktgk

tgarc







44)1(1

;

4. A

egyenes egy adott pontjához felrajzoljuk a



szöget. (A garat felső

részén a tömegkifolyás



garat-dőlésszög illetve ennél meredekebb szög

alkalmazásával biztosítható.)

5. A kritikus

értéknél kisebb

arányra számítjuk a



szög értékét;

- 51 -

6. A

egyenesen nyert metszéspontra szerkesztjük a



szöget és szárát a

arányvonalig húzzuk, majd a

egyenesre felrajzoljuk a

alapján számított



szöget, majd a szerkesztést és számítást folytatva egyenes szakaszokkal közelített

görbe alkotójú garatot nyerünk;

7. Adott kifolyónyílás mérethez, vagy a garat felső átmérőjéhez a méretarányt

meghatározva mérethelyes garatalakot nyerünk, melyről a keresett méretek

leolvashatók.

A kedvező kifolyást biztosító garatprofil tehát görbe.

Ha a technológiai nehézségek egyenes alkotójú garat megvalósítását indokolják,

akkor a kifolyónyílás méretében számított dőlésszög az irányadó. Ha a

tömegkifolyástól eltekintünk, akkor a

arány helyett a garat dőlésszöge

indifferens, csupán az anyag természetes rézsű-szögénél kell meredekebbre

választani. A görbe alkotójú garat nagy előnye, hogy a beépítési helyigénye a lehető

legkisebb és meglevő garatokba betétként is behelyezhető, mellyel a kifolyási

nehézségek hatásosan javíthatók.

Görbe alkotójú – hiperbolikus – garatok folyásjavító előnyei ismertek, melyet a jelen

elmélet alapján méretezett garatok kísérletileg is igazoltak.

Kísérleti eredmények

Az elmélet kidolgozását követően a tárolandó anyaghoz méretezett kísérleti

tartályokkal és garatokkal méréseket végeztünk. Kukoricadara anyag- és súrlódási

jellemzőire méretezett garat fölött 2 méter magas és 1 méter átmérőjű anyagoszlop

volt. β=30º-os dőlésszögű egyenes kúpos garatnál 150 mm átmérőjű garatnyílásig

boltozat képződött és a gravitációs ürítést meggátolta. Ugyanazon tartálynál görbe

alkotójú garattal 100 mm átmérőjű garatnyílással és rövidebb garat beépítéssel

biztonságos kifolyást kaptunk (25. ábra).

- 52 -

25. ábra Görbe alkotójú garat

Elméleti számításainkat a kísérleti mérések kukoricadarán kívül nedvesített homokra

– mint modellanyagra -, továbbá műtrágyára és keverék takarmányokra, extrahált

szójadarára, takarmánymészre, lucernalisztre egyaránt igazolták.

- 53 -

Feszültségek a kohéziós szemcsés anyagokban

A szemcsés anyagok általában a nedvességtartalomtól függően kisebb-nagyobb

kohézióval rendelkeznek. A kohéziós szemcsés anyagok mechanikai viselkedésben

számottevő eltérést mutatnak a kohézió nélküli szemcsés anyagoktól, mely

elkülönült tárgyalásukat indokolja.

Kohéziós szemcsés anyagnak tekinthető az olyan nagyszámú, egymással érintkező

szilárd testek halmaza, ahol a szemcsék – mint a halmaz alkotó elemei - közötti

kohéziós erő kisebb, mint az egyes szemcséket összetartó erő. Az anyagban

érvényesül Coulomb súrlódási törvénye és az egyes szemcsék a ráható erők mellett

megtartják alakjukat.

Oldalnyomás

A kohéziós szemcsés anyagok nyírási ellenállása Coulomb súrlódási törvénye

értelmében:

ctg





összefüggéssel írható le, ahol:

- 54 -

τ = az anyag nyírási ellenállása;



= a nyírt felületre ható normál feszültség;



= az anyag súrlódási szöge;

c = az anyag kohéziós értéke.

A nyírási ellenállás két részből tevődik össze, a súrlódásból (mely függ a nyírt

felületre merőlegesen ható nyomástól) és a kohézióból (mely viszont független a

normál feszültségtől).

26. ábra A



csúszási határszög és a Coulomb egyenes kapcsolata

A τ –



kapcsolat lineáris (26. ábra), tehát egyenest, az úgynevezett Coulomb

egyenest jeleníti meg. Az egyenesen fekvő pontok csúszási határállapotot, azaz

határegyensúlyi helyzetet jelentenek. Nyugalomban lévő kohéziós szemcsés anyag

belsejében minden mélységhez, azaz önsúlyból származó függőleges irányú hγ

nagyságú feszültségértékhez tartozik egy olyan határszög, ahol csúszási határállapot

található. Ez a vízszintessel bezárt hajlásszög: Φ, mely a Coulomb egyenes adott

pontját és az origót összekötő egyenes vízszintes tengellyel bezárt szöge (26. ábra).

A Φ szög a normál feszültségtől, azaz a nyugalomban lévő kohéziós szemcsés anyag

belsejében az önsúly által létrehozott normál feszültségtől függően változik. Tehát a

Φ szög a mélység függvénye is. A 26. ábra alapján a Φ szögre felírható:







mivel

ctg





és

 cos



- 55 -

így





cos





tgtg

A Φ szög, tehát függvénye a súrlódási szögnek, a kohéziós értéknek, valamint a

mélység és térfogatsúly szorzatának, ahol a kapcsolat már nem lineáris. Kohéziós

anyag belsejében, tehát a csúszási határállapothoz tartozó felület görbe, mely

érintőjének iránytangense tg Φ. A Φ szög tulajdonképpen nem más, mint a nyírási

ellenállás szöge, hasonlóan a kohézió nélküli szemcsés anyag jellemzésére használt

súrlódási szöghöz. A Φ szög fizikai tartalma megegyezik a kohézió nélküli szemcsés

anyagok



szögével. (A mélység függvényében változó Φ szög c=0 esetében a

konstans



-vé fajul.)

A Φ szög figyelembevételével a kohéziós szemcsés anyagokra is alkalmazható a

kohézió nélküli szemcsés anyagokra vonatkozó II. és III. törvény:

II. Nyugalomban lévő kohéziós szemcsés anyagokban a függőleges irányú

nyomófeszültségek által ébresztett feszültségek a függőleges iránytól mért



zónában lefelé hatnak (ahol Φ az anyag belső nyírási ellenállásának

szöge).

III. Kohéziós szemcsés anyag önsúlyból származó nyugalmi nyomás értéke a

mélység és térfogatsúly szorzatának fele















, iránya a vízszintestől az anyag

belső nyírási ellenállásának szögével lefelé tér el. A nyugalmi nyomás vízszintes

összetevője:

.cos







A kohéziónélküli szemcsés anyag nyugalmi nyomásának alkalmazását kohéziós

szemcsés anyagra az teszi lehetővé, hogy a szemcsés anyagokban az önsúlyból

származó függőleges feszültség és a vízszintes feszültségi összetevők közötti arány

csak az anyag fizikai jellemzőitől, pontosabban az anyag nyírási ellenállásának

szögétől függ.

- 56 -

Tekintettel arra, hogy a Φ szög a mélység függvényében változik, ezért a cos Φ

kifejezhető a





cos





tgtg

összefüggésből:

,cossin





tg 





tg  coscos1

01cos

coscos

222











cos















tgtg

mivel



cos

1  tg

így









cos1coscossincos



illetve

 







sincos

cos

2222

 cch

A cos Φ-re nyert összefüggés a



képletbe helyettesítve a nyugalmi nyomás

vízszintes összetevője:

 







sincos

cos

2222

 cch

A vízszintes



feszültségkomponensek egy bizonyos

mélységig negatív

előjelűek.

mélységben a



értéke 0. A



=0 mélysége kifejezhető:

0sincos

cos

222





















cch

,sincos

22222



 cch

 



22222

cossin  ch



h 

- 57 -

mélységig a vízszintes felszínű kohéziós szemcsés anyag, tehát a függőleges

falban megtámasztás nélkül is megáll.



vízszintes feszültségkomponensek

-tól h mélységig vett határozott

integráljával nyerhető a h magasságú függőleges támfalra ható nyugalmi nyomás

eredő erejének értéke (ha a támfalon nem ébred súrlódás, mely a modellkísérletek

szerint a nyugalom eredményeként következik be):





dhE



Az integrálás eredménye:

















cossin

coscos

2222



cos

lncos



































Az ln-t tartalmazó tag az 1-nél kisebb cos



harmadik hatványa, valamint az ln

aránylag kis értékének szorzata miatt elhagyható, így

























E 2cossin

cos

2222

Tehát vízszintes felszínű kohéziós szemcsés anyag függőleges támfalra ható

nyugalmi nyomásának erdő ereje:







































sin2cos

cos

2222

cch

Szabad rézsű hajlásszöge

A kohéziós szemcsés anyagot jellemző Coulomb-egyenes egy adott pontját és az

origót összekötő egyenes



tengellyel bezárt Φ szöge úgy jellemzi az anyag

nyírószilárdságát az adott



normál feszültséghez tartozó mélységben, mint ahogy

a kohézió nélküli szemcsés anyagot a



súrlódási szög. A különbség csupán abban

- 58 -

áll, hogy a kohéziós anyagban ez a szög a nyírt felületre ható normál feszültségtől

függően változik. A Φ szög tangense a mélység függvényében az alábbiak szerint

fejezhető ki:

A korábban felírt





cos





tgtg

összefüggésből kiindulva és





cos

helyettesítéssel





tgc

tgtg





amely összefüggésből a tg Φ kifejezhető:

   

2222222222

 ctghtgtghtghc



222

22222222

chtghctgh











)(cos

cossin

222

222222

chch











Tekintettel arra, hogy a nyugalomban lévő kohéziós szemcsés anyagokban az

önsúlyból származó feszültségek iránya a vízszintessel Φ-nél nagyobb szöget zárnak

be, ezért a szabad rézsű legnagyobb hajlásszögét az önsúlyból származó függőleges

irányú feszültségek által kiváltott, a vízszintessel Φ szöget bezáró azon feszültségek

határozzák meg, melyek még éppen nem lépnek ki a rézsű lapján.

A kohéziós rézsű a nyírási egyenesből a következők szerint (27. ábra) szerkeszthető

meg:

A Coulomb-egyenes nyírókísérletek alapján történt felvétele után megszerkesztjük a

mélység függvényében változó Φ szöget: a Coulomb-egyenes A pontjának megfelelő

belső nyírási ellenállás szöge



. Az OAD háromszögben az OD oldalhosszúság

h cos



, azaz az önsúlyból származó függőleges feszültség



irányra

merőleges összetevője. A háromszög OA átfogója tehát hγ, így az átfogót az O

pontból körzőnyílásba véve az O pontból függőlegesen lefelé kiinduló hγ tengelyre

leforgatva kapjuk az A’ pontot, ahová a



szöget átmásoljuk. A Coulomb-

egyenesen felvett pontokhoz tartozó Φ szögeket ily módon a hγ egyenesre

szerkesztve megrajzolható a feszültségi irányok burkológörbéje. Amennyiben a hγ

- 59 -

tengelyen a beosztást γ-val osztjuk, akkor a vízszintes felületű kohéziós szemcsés

anyag legmeredekebb rézsűjének geometriai alakját nyerjük.

27. ábra Kohéziós rézsű szerkesztése

A kohéziós szemcsés anyag



magasságig megtámasztás nélkül függőleges falban

megáll, míg a mélység növekedésével a Φ szög csökken, és a



súrlódási szöghöz,

mint határértékhez tart. A legmeredekebb rézsű alakja hiperbolikus jellegű.

Amennyiben a legmeredekebb, de síklapú rézsű vízszinteshez mért hajlásszögének

meghatározása a feladat, akkor a vízszinteshez Φ szögben hajló feszültségi irányok

burkológörbéjének adott mélységhez tartozó pontját az O origóval összekötő

egyenes, mint a sík rézsűlap vízszintessel bezárt β szöge nyújtja a keresett

legmeredekebb sík rézsű hajlásszögét. A vízszinteshez Φ szögben hajló feszültségi

irányok burkológörbéjét most fölfelé irányított h tengely segítségével

megszerkesztve (28. ábra) az O origóból kiindulóan egy kívánt β szög szára által a

burkológörbén kimetszett pontjához tartozó magasság nyújtja azt a rézsűmagasságot,

- 60 -

mely a β rézsűszögben sík rézsűlap mellett a vízszintes felszínű kohéziós szemcsés

anyag még megtámasztás nélkül megáll.

28. ábra A rézsűmagasság és a rézsűszög közötti összefüggés

A Φ feszültségi irányok burkológörbéje homorú jellegű (27. ábra). A rézsű lapja

lehet sík (28. ábra), de domború is. A domborúság mértéke annak függvénye, hogy a

rézsű bármely pontján keresztül fektetett függőleges síkban vizsgált, a mélység

függvényében változó, a vízszinteshez Φ szögben hajló feszültségi irányok a rézsű

lapját ne metsszék. Adott

magasságú rézsű domború burkológörbéje a 29. ábra

szerint szerkeszthető meg:

A homorú burkológörbét a 27. ábrán bemutatott módszerrel szerkesztjük. A

magasságú homorú rézsű geometriai alakját a

pontból húzott vízszintes által a

burkológörbéből kimetszett B pont és a

O közötti görbe írja le. A

magassághoz tartozó domború rézsű az

BOh

görbe oly módon történő

elforgatásával nyerhető, hogy az O és B pont helyzete felcserélődik.

Szerkesztéssel könnyen igazolható, hogy domború rézsű esetén a talpponti B pont

feszültséggyűjtő hely, ezért a domború rézsű állékonysága kevésbé biztos, mint a

homorúé. A szerkesztésből ugyanakkor belátható, hogy az OB egyenes szakasz

- 61 -

vízszinteshez mért hajlásszöge egyben a

magassághoz tartozó síklapú rézsű

legnagyobb β hajlásszöge.

29. ábra Domború rézsű szerkesztése

A 29. ábrán a

magassághoz tartozó homorú és domború határhelyzetű szabad

rézsű geometriai görbéi között vonalkázott részben a rézsű lapjának geometriai

alakja úgy választható, hogy az OB szakasz felett – folytonos görbét feltételezve –

domború, míg alatta homorú jelleget mutasson. Törtvonalú rézsű esetén a mélység

függvényében változó Φ irányú feszültségekre a vizsgálatot el kell végezni, hogy a

feszültségi irányok a rézsű lapját ne metsszék.

Domború határhelyzetű rézsű kialakulásával akkor számolhatunk, ha az anyagot

megtámasztó például függőleges falat óvatosan függőlegesen lefelé mozgatva

távolítjuk el, míg homorú határhelyzetű rézsű a fal függőlegesen felfelé irányuló

eltávolításával nyerhető.

- 62 -

Aktív feszültségi állapot

A kohézió nélküli szemcsés anyag belsejében az aktív nyomás vízszintes

összetevőjét



















összefüggés fejezi ki. Kohéziós szemcsés anyagban az aktív feszültség vízszintes

összetevőjére - a Φ és a kohézió nélküli anyagra vonatkozó



analógiája alapján,

mely kis súrlódási szögű és kis kohéziójú szemcsés anyagban aránylag kis

mélységben már bekövetkezik – felírható:





















azaz







cos

sin1





A sinΦ és cosΦ értéke Coulomb-egyenesből nyert összefüggés segítségével

fejezhető ki:





cos





tgtg





tg  cossin



tgh

tg 







sin

cos

A sinΦ és cosΦ értékeit a



-re felírt összefüggésbe helyettesítve:

ctghh







sin

cos











ctghh  cossin



így





























chh

cos2

- 63 -

A cosΦ-re a Coulomb-egyenesből levezethető volt:

 







sincos

cos

2222

 cch

A cosΦ értékét a



összefüggésbe helyettesítve nyerhető egy adott mélységben az

anyag belsejében ébredő aktív nyomás vízszintes feszültségi összetevője:

































sin

sincos

cos2

2222

cch

chh

Amennyiben a kohéziós szemcsés anyagban az aktív feszültségi állapotot függőleges

és súrlódásos támfal elmozdulása – elbillenése- hozza létre, akkor a támfal és az

anyag között ébredő súrlódás a támfalra ható feszültségek irányát és nagyságát

módosítja.

A kohéziós szemcsés anyag és a fal között ébredő súrlódás általános esetben a

felületre ható normál feszültségtől függő



súrlódási tényezőből és az attól

független

adhézióból tevődik össze, mely Coulomb súrlódási törvénye értelmében

a 30. ábra szerinti.

30. ábra A kohéziós szemcsés anyag és a fal között ébredő súrlódás

Egy adott



normál feszültség mellett a súrlódási szöge



. A



a 30. ábra

alapján kifejezhető:









- 64 -

tgtg







A kohéziós szemcsés anyagban a Φ irányú feszültségeket az önsúlyból származó

függőleges feszültségek hozzák létre.

31. ábra Kohéziós feszültségi modell

A kohézió nélküli szemcsés anyagokra felállított feszültségi modellt a kohéziós

anyagra alkalmazva



szög helyett Φ-t használva (31. ábra) – felírható a függőleges

és vízszintes feszültségi összetevők közötti arányossági kapcsolat:





cos





Súrlódásos támfal mellett a kohéziós szemcsés anyag függőleges feszültség-

összetevőinek egy része a támfalra helyeződik át, a támfalon súlyerő-felvétel valósul

meg. Ha a támfalra





a vízszintessel



szöget bezáró feszültség hat, akkor a

támfal





sin

függőleges irányú feszültséget vesz fel az anyagból, azaz a támfal

melletti anyagrész függőleges feszültségét





sin

-vel csökkenti. Ezzel arányosan

csökken a támfalra ható vízszintes feszültségi összetevő is. A támfalra pedig





cos

nagyságú vízszintes feszültségkomponens hat. A függőleges és vízszintes

feszültségi összetevők közötti arány alapján felírható:







cos

sin

cos







- 65 -





kifejezhető:







cossincos

cos











vízszintes összetevője







cos







cos1

cos









-re felírt összefüggésben függőleges támfal esetén





, így

















cos

cos1

cos



kifejezhető:











cos1

cos







ahol

 







sincos

cos

2222

 cch

A kohéziós szemcsés anyag súrlódásos támfalra ható aktív nyomása tehát kisebb,

mint a nyugalmi nyomása. A támfalon ébredő adhézió esetén a vízszintes feszültség-

komponensek:





cos1

cos



értékkel csökkennek az adhézió nélküli támfalhoz viszonyítva. Kohéziós szemcsés

anyag elbillenő támfalra ható aktív nyomóerejének vízszintes

összetevője a



határozott integráljával számítható, ahol az integrálás alsó határa

0



feltételből

adódik:

cos1

cos















Az egyenlőség fennáll, ha

90

, mely



h 

-nál következik be, illetve ha

hγ=2a

és így





, azaz





- 66 -

Tehát az integrálás alsó határa

, de

-ra a



, illetve



közül a nagyobb érték

veendő figyelembe.













cos1

cos





ahol

cos

szintén a h függvénye is.

- 67 -

Összefoglalás

A szemcsés anyag alapvető fizikai tulajdonságai lényegesen eltérnek a kémiailag

azonos, de szilárd, folyékony, vagy gáznemű állapotú anyagétól, ezért külön

halmazállapotkénti meghatározását indokolja.

Az ideális szemcsés anyag – hasonlóan a tökéletes gáz, ideális folyadék és kristályos

szilárd anyag fogalmához – a kohézió nélküli szemcsés anyag.

A kohézió nélküli szemcsés anyagok fizikai-mechanikai alaptörvényei az alábbiak:

I. Kohézió nélküli szemcsés anyagokban csak nyomó- és

nyírófeszültségek ébredhetnek.

II. Nyugalomban levő, kohézió nélküli szemcsés anyagokban a függőleges

irányú nyomófeszültségek által ébresztett feszültségek a függőleges iránytól

mért





zónában lefelé hatnak. (



az anyag súrlódási szöge.)

III. A kohézió nélküli szemcsés anyag önsúlyából származó oldalnyomás

értéke a mélység (h) és térfogatsúly (γ) szorzatának fele (



), iránya a

vízszintestől az anyagban ébredő súrlódási szöggel lefelé tér el, ha a felszín

vízszintes és az adott mélység felett az anyag a vízszintessel



szöget bezáró

teret egyenletesen kitölti.

- 68 -

IV. A kohézió nélküli szemcsés anyagok mindaddig megtartják az őket

jellemző fizikai-mechanikai törvényeket, amíg alkotó elemeik, a szemcsék,

megőrzik relatív nyugalmukat. Amint a szemcsék relatív mozgásba kerülnek –

egymással ütköznek -, a szemcsés anyagok a folyadékok fizikai-mechanikai

törvényei szerint viselkednek.

A kohézió nélküli szemcsés anyagok fizikai-mechanikai törvényei statisztikai

jelleggel érvényesülnek, mert maga az anyag különböző szemcsék sokaságából áll.

A szemcsés anyagokban a feszültségek – egy adott felületre számított átlagerők –

vektoriálisan felbonthatók, illetve összegezhetők.

A nyugalmi nyomás tényezője:

cos







Kohézió nélküli szemcsés anyagban a vízszintessel



szöget bezáró és a halmaz

felé dőlő síkban az oldalnyomás























tgh

és iránya a vízszintessel



szöget zár be.

Expanzió következtében előálló aktív feszültségi állapotban a mozgás a vízszintessel





irányban valósul meg.

Függőleges súrlódásos támfalra ható nyomás vízszintes összetevője







cos1

cos

2 



, ahol



a támfal és az anyag között ébredő súrlódás szöge.

A boltozat kialakulásának feltételét egy vályúban két egyenlőség egyidejű fennállása

fogalmazza meg:





 



tgtg



- 69 -

ahol:

b a vályú kifolyó nyílásának mérete,

h a vályú magassága,



a nyugalmi nyomás tényezője,



a vályú dőlésszöge a függőlegeshez mérve,



a vályú és az anyag között ébredő súrlódás szöge.

A vályúból a kifolyás történhet tömegfolyással, ha





, azaz

 



tgtg



. Alagútfolyás akkor következik be, ha





, azaz

 



tgtg



, de



tghb 

A boltív geometriai egyenlete

tghb





















, illetve

 

















 tg

, ha a boltozat a függőlegeshez mért



szögben hajló síkban

az anyagra támaszkodik. Az



szög számítható.

A boltozat kialakulásának feltételei ismeretében folyásbiztos garatok méretezhetők.

A méretezés menetét jelen munka bemutatja. E méretezési eljárással kapott görbe

alkotójú garattal végzett kísérletek az elméleti számítások helyességét igazolták.

Nyugalomban lévő kohéziós szemcsés anyagban a függőleges irányú

nyomófeszültségek által ébresztett feszültségek a függőleges iránytól mért



zónában lefelé hatnak (ahol



az anyag belső nyírási ellenállásának

szöge).

Kohéziós szemcsés anyag önsúlyból származó nyugalmi nyomás értéke a mélység és

térfogatsúly szorzatának fele















, iránya a vízszintestől az anyag belső nyírási

ellenállásának szögével lefelé tér el. A nyugalmi nyomás vízszintes feszültség-

összetevője:

- 70 -

 cos





illetve

 







sincos

cos

2222

 cch

ahol a c a kohéziós érték.

Vízszintes felszínű kohéziós szemcsés anyag függőleges támfalra ható nyugalmi

nyomásának eredő ereje:







































sin2cos

cos

2222

cch

Kohéziós szemcsés anyag függőleges falban megtámasztás nélkül



h 

magasságig állékony. A legmeredekebb rézsű szerkesztésének alapelve, hogy az

önsúly által ébresztett



irányú feszültségek a rézsű lapját érintsék. Kohéziós rézsű

szerkesztésének menete jelen munkában megtalálható.

Kohéziós szemcsés anyag δ súrlódási szöggel és a adhéziós tényezővel rendelkező

függőleges támfalra ható aktív nyomásának vízszintes feszültség-összetevője:











cos1

cos







ahol

 







sincos

cos

2222

 cch

- 71 -

Felhasznált irodalom

1. Mester, L.: Kohézió nélküli szemcsés anyagok fizikai-mechanikai

elméletének alapjai. Akadémiai Kiadó, Budapest, 1977. 39p.

2. Mester, L.: Kohézió nélküli szemcsés anyagok fizikai-mechanikai

alaptörvényei. Járművek, Mezőgazdasági Gépek, 1977. 24.3. 109-114p.

3. Mester, L.: Szemcsés anyagok fizikai-mechanikai tulajdonságai.

Tanulmány. Mezőgépfejlesztő Intézet, 1977. 83p.

4. Mester, L.: Feszültségek a kohéziós szemcsés anyagokban. Járművek,

Mezőgazdasági Gépek, 1978. 25.2. 56-60p.

5. Mester, L.-Czike, I.:Mezőgazdasági szemes és szemcsés anyagok agrofizikai

jellemzőinek meghatározása. Élelmezési Ipar, 1979. 33.9. 349-355p.

6. Mester,L.: A boltozat kialakulásának mechanizmusa szemcsés anyagokban,

a garatméretezés elméleti alapjai. Járművek, Mezőgazdasági gépek, 1980. 27.8.

285-290p.

7. Mester, L.-Tóth, F.: Folyásjavító garatok szemcsés anyagok silós tárolásához.

Mezőgazdasági Technika, 1980. 20.12. 26p.

8. Terzaghi, K.: Large Retaining Wall Tests, Engg, News Record No.112. 1934.

9. Terzaghi, K.: Stress Distrubution in Dry and in Saturated Sand above a

Yielding Trap- Door. Proc. Inf. Comf. Soil Mech. I. Camdridge 1936.