Mester László
Szemcsés anyagok új fizikai-mechanikai
elmélete
2009
- 2 -
Tartalomjegyzék
Bevezetés…………………………………………………………………………..3
A szemcsés anyag, mint külön halmazállapot……………………………………..4
A szemcsés anyag halmazállapotokkal összefüggő tulajdonságai…………...6
A szemcsés anyag, mint anyagi állapot…….……………………………….10
Kohézió nélküli szemcsés anyagok fizikai-mechanikai alaptörvényei…………...13
I. törvény……………..……..……………………………………………14
II. törvény……………..……..……………………………………………14
III. törvény……………..……..……………………………………………16
IV. törvény……………..……..……………………………………………23
Feszültségek a kohézió nélküli szemcsés anyagokban…………………………...25
Aktív feszültségi állapot……………………………………………………….....30
Az aktív feszültségi állapot kialakulása………………………………….....30
Függőleges támfalra ható nyomás…………………………………………..35
Boltozatképződés szemcsés anyagokban………………………………………....38
A boltozat kialakulásának feltétele………………………………………….38
A kifolyás jellege…………………………………………………………....43
A boltozat kialakulásának mechanizmusa…………………………………..45
A boltív geometriai egyenlete……………………………………………….46
A garatméretezés elve……………………………………………………….48
Kísérleti eredmények………………………………………………………..51
Feszültségek a kohéziós szemcsés anyagokban…………………………………..53
Oldalnyomás………………………………………………………………...53
Szabad rézsű hajlásszöge…………………………………………………....57
Aktív feszültségi állapot…………………………………………………….62
Összefoglalás……………………………………………………………………...67
Felhasznált irodalom……………………………………………………………...71
- 3 -
Bevezetés
A szemcsés anyagok fizikai-mechanikai elméleti kutatását a XVIII. század óta
Coulomb, majd Rankine munkája nyomán az jellemzi, hogy a szilárd testekre
levezetett feszültséganalízis módszerét alkalmazzák. Mások a viszkózus folyadékok
hasonlóságait vélik megtalálni a szemcsés anyagokban és azok törvényszerűségeivel
írják le az anyag fizikai viselkedését. Véleményem szerint kontinuumokra levezetett
tételek többsége a szilárd, elkülönült szemcsékből álló halmazra nem alkalmazható.
Kiindulásként csak olyan természeti törvények vehetők figyelembe, melyek az
egyetemes anyagra egyaránt érvényesek.
Jelen munka szakítva az eddigi szemléletmóddal új nézőpontból kívánja
megragadni a szemcsés anyagok fizikai-mechanikai összefüggését. Ebből
következik, hogy nem tűzte ki célul a témakörben született elméletek kritikai
elemzését, hiszen azoktól függetlenül került sor az új alapok meghatározására. A
kontinuum szemlélettel ellentétben az egyes szemcsék egyensúlyi helyzetét, illetve
mozgási állapotát vizsgálva egyszerű kísérletekre, valamint a newtoni törvényekre és
egy tapasztalati törvényre, a súrlódás törvényére épül ez az új elmélet.
- 4 -
A szemcsés anyag, mint külön halmazállapot
A természetben előforduló anyagok fizikai megjelenési formái igen változatosak. A
Föld felszínének legnagyobb részét óceánok, tengerek, tavak borítják, azaz vizek. A
szárazföld változatosabb: sziklás hegygerinceket, lankás talajjal takart felszíneket és
homokbuckás sivatagokat találunk. Helyenként a felszínt a téli hidegben hó vagy jég
takarja. A felszín felett pedig szél fúj, vagy épp szélcsend van, azaz a levegőt
érzékeljük. Ránk a nap melege süt, és tudjuk, hogy a Nap belsejében megint s
anyagi állapot található. A Föld felszínének legnagyobb részét beborító víz
megjelenési formája önmagában is változatos. Normál hőmérsékleten és nyomáson
folyékony, de a hőmérséklet emelkedésével, egyre gyorsabban párolog és gőz lesz
belőle. Köd vagy felhő keletkezik. A gőz, ha megfagy és kicsapódik a hidegben,
hullik, szemcsés anyaggá halmozódik. Ha a elolvad, folyadék keletkezik, mely,
ha megfagy szilárd jéggé fagy. Azaz a víz előfordulhat: folyadék, gőz (légnemű),
(szemcsés) és jég (szilárd) állapotban. Mindegyik formájában más-más jellemző
tulajdonságokkal rendelkezik és más-más törvényszerűségek szerint viselkedik.
A fizika az anyag főbb megjelenési formáit a halmazállapot szerinti csoportosítással
választja el: plazmaállapot, gáz, folyadék és szilárd halmazállapot. Egyes
anyagfajták nem szoríthatók be egyetlen merev halmazállapot kategóriájába sem,
mert két vagy több állapot tulajdonságait is magukon viselik. Ezek az anyagok
viszont a hasonló halmazállapotú anyagtörvényekre visszavezetve írhatók le. A
szemcsés anyag az említett négy halmazállapot egyikébe sem sorolható. Az anyag
- 5 -
fizikai-mechanikai tulajdonságai pedig nem teszik lehetővé, hogy egy vagy több
halmazállapot fizikai törvényeivel sikeresen írjuk le viselkedését.
A szemcsés anyag olyan nagyszámú, egymással érintkező szilárd testek halmaza,
ahol a szemcsék mint a halmaz alkotó elemei a reá ható erők mellett megtartják
alakjukat és a szemcsék között esetlegesen fellépő kohéziós erő lényegesen kisebb,
mint a szemcsék belsejében ható összetartó erő.
A szemcsés anyagok összefüggő fizikai rendszere hiányzik, csupán egyes lényeges,
elsősorban talajmechanikai problémák elméleti feldolgozása ismeretes. Ezen
kérdések megoldására sok és egymásnak ellentmondó eredményre vezető elméletet
alkalmaznak, melyek között egységes fizikai alapokon nyugvó kapcsolat vagy nincs,
vagy vitatható. A szemcsés anyagokkal foglalkozó mechanikai elméletek többsége a
szilárd testekre levezetett feszültséganalízis módszerét alkalmazza, mely módszer
eleve feltételezi, hogy a szemcsés anyag szilárd halmazállapotú kontinuum.
Van olyan felfogás, hogy a szemcsés anyagok a viszkózus folyadékok törvényeivel
közelíthetők, viszkoelasztikus vagy elasztoviszkoplasztikus anyagként viselkednek.
A bonyolult elméleti megoldások egyes mechanikai feladatok megoldásához ugyan
közelítő eredményt szolgáltatnak, de az anyag viselkedésének általános és
megbízható leírásához nem alkalmazhatók.
A szemcsés anyagok halmazállapoti megítélése nem egyértelmű. Ezt tükrözi, hogy
elnevezése sem egységes, például szóródó, porszerű, ömlesztett, szilárd, szemes,
szemcsézett, szemcsés, darás, dercés stb. anyagnak nevezik.
A szemcsés anyag fizikai viselkedése és tulajdonságai olyan minőségi eltérést
mutatnak a többi halmazállapotban előforduló anyagoktól, hogy azok között önálló
kategóriát képviselnek.
A szemcsés anyag idealizált fogalma lehetővé teszi az anyag fizikai viselkedésének,
tulajdonságainak és származtatásának egyszerűsített magyarázatát, hasonlóan a
tökéletes gázok, ideális folyadékok és kristályos szilárd anyagok esetében
alkalmazott feltételezésekhez. Ideális szemcsés anyag az anyag tömegéhez
viszonyított kicsi, de nagyszá szilárd testek (szemcsék) olyan halmaza, ahol a
- 6 -
szemcsék között vonzerő nem hat és közöttük Coulomb súrlódási törvénye
érvényesül.
A szemcsés anyag halmazállapotokkal összefüggő tulajdonságai
A halmazállapot szerinti kategorizálás alapját az anyag alakjának és térfogatának
önállósága képezi. A három klasszikus halmazállapot jellemző ismérve tehát
- gázok: önálló alakkal és térfogattal nem rendelkeznek;
- folyadékok: önálló alakkal nem, de önálló térfogattal rendelkeznek;
- szilárd testek: önálló alakkal és térfogattal rendelkeznek.
Az önálló alak és térfogat kérdésében a szemcsés anyagra az a jellemző, hogy:
- részben önálló alakja van, a szemcsés halmaz rézsűszögében megáll, de
rézsűszöge alatt a tárolóedény alakját veszi fel. E tulajdonsága a folyadékok és a
szilárd testek közé helyezi.
- részben önálló térfogata van, de korlátozott mértékben összenyomható. A
szemcsés anyag kompresszibilitása a gázok és a szilárd testek összenyomhatósága
között helyezkedik el.
Az anyagok halmazállapotával összefüggő anyagszerkezeti kutatások az alak- és
térfogattartás okát az alkotóelemek tulajdonságaiban és kölcsönhatásában találta
meg. Ezért a modern fizika a halmazállapotok meghatározásánál az anyagra
jellemző legkisebb alkotó elemek mozgási állapotát, egymáshoz viszonyított
helyzetét és kölcsönhatását veszi figyelembe. Ez tette lehetővé, hogy a három
klasszikus halmazállapot mellett egy negyediket, a plazmaállapotot is elfogadta a
természettudomány.
Szükségesnek látszik hangsúlyozni az anyagra jellemző legkisebb alkotó elemek
kifejezést, mert ez a halmazállapotok meghatározásánál alapvető fontosságú. Tehát
- a plazmaállapotú anyagot a molekulák vagy atomok szétesett részei, az atom-
vagy molekulaionok és az elektronok alkotják. A plazmaállapotot az atom- vagy
molekulaionok és elektronok kölcsönhatásai jellemzik, de nem az atom vagy
molekula egyéb részei.
- 7 -
- a gázhalmazállapotú anyag tulajdonságait a gázmolekulák nemesgázok
esetén atomok – kölcsönhatásai szabják meg.
- a folyadékoknál szintén az atomok illetve molekulák mozgása és egymáshoz
való viszonya a döntő. Víz esetében nem a hidrogén vagy oxigén atomok, és nem a
vízcseppek, hanem a H
2
O molekulák kölcsönhatásai determinálják a folyadékot.
- kristályos szilárd test esetében a rácspontokban elhelyezkedő atomok,
molekulák vagy ionok hatásviszonyaival magyarázhatók a szilárd halmazállapotú
anyag tulajdonságai és nem pl. az elemi kristályok illetve krisztallitok
kölcsönhatásaival, és nem a rácspontokban elhelyezkedő molekulák felépítésében
résztvevő atomok és annak részeinek egyedi tulajdonságaival.
- szemcsés anyag esetében az anyagra jellemző legkisebb alkotóelem a szemcse.
Az atomi részek, az atomok vagy molekulák, melyekből a szemcsék felépülnek, nem
közvetlen jellemzői legalábbis nem fizikai értelemben vett jellemzői az
anyagnak, éppen úgy nem, mint ahogy a gázoknál és folyadékoknál sem az atomok
vagy molekulák felépítésében részt vevő atomi részek, illetve atomok egyedi fizikai
tulajdonságai és kölcsönhatásai jellemzik az anyagot.
A három klasszikus halmazállapot főbb jellemzői az alábbiakban foglalhatók össze:
Gázhalmazállapot: A gázok molekulái nemesgáz esetében atomjai a
rendelkezésükre álló térben szabadon mozognak, a véletlen törvényszerűségei
szerint egymással rugalmasan ütköznek. A gázok alkotóelemei saját méreteikhez
viszonyítva igen nagy átlagtávolságra helyezkednek el egymástól, egymásra
erőhatást csak nagyon kis mértékben gyakorolnak. Tökéletes gázokban az
erőhatástól eltekinthetünk. A molekulák transzlációs, rotációs és vibrációs mozgást
végeznek. A gázok a rendelkezésükre álló teret egyenletesen kitöltik, tehát önálló
alakkal és térfogattal nem rendelkeznek.
Folyékony halmazállapot: A folyadékra jellemző legkisebb alkotóelemek az atomok
illetve molekulák között ható erők elég nagyok ahhoz, hogy a hőmozgásból adódó
eltávolodásukat egymástól meggátolják, de nem elég nagy ahhoz, hogy
helyváltoztatásukat megakadályozzák. A molekulák a gázokéhoz viszonyítva kis
transzlációs mozgással rendelkeznek, miközben rotációs és vibrációs mozgást is
végeznek. Az alkotóelemek, mozgásuk és közelségük következtében, állandóan
- 8 -
rugalmasan ütköznek egymással, tehát egymással érintkeznek, ezért a folyadékoknak
állandó térfogatuk van. A molekulák között ható vonzóerő a földi gravitációs
erőtérhez viszonyítva olyan kicsi, hogy az önálló alakképzéshez nem elegendő, így a
folyadékok önálló alakkal nem rendelkeznek.
Szilárd halmazállapot: A szilárd testben az anyagra jellemző legkisebb
alkotóelemek az atomok, molekulák vagy ionok. Helyzetük kötött, kristályos
szerkezetben geometriailag meghatározott, csak rezgőmozgást végeznek. Az
alkotóelemekre nagy erők hatnak, melyek meggátolják a tartós eltávolodást
egyensúlyi helyzetükből. Ezért a szilárd testeknek önálló alakjuk és térfogatuk van.
A szemcsés anyag a három klasszikus halmazállapot főbb halmazállapoti
jellemzőitől lényeges eltérést mutat. Az ideális szemcsés anyag alkotóelemei, a
szemcsék, relatív nyugalomban vannak. Az alkotóelemek között vonzóerő nem hat,
az anyagot a gravitációs erőből származó nyomó-, és a szemcsék felületén ébredő
nyíróerők, - nyugvó súrlódó erők tartják halmazban. Az erőhatások következtében
az ideális szemcsés anyag rézsűszögéig megáll, tehát önálló alakkal csak részben
rendelkezik. A szemcsés anyag alkotóelemei állandó érintkezésben vannak, ezért
nyugalom esetén térfogata állandó. Nyomás hatására az anyag tömörödik, a
szemcsék kedvezőbb helykitöltésű elrendezést foglalnak el. A szemcsés anyagok a
gázokhoz képest kicsi, de a szilárd anyagokhoz képest nagy kompresszibilitással
rendelkeznek.
Az ideális szemcsés anyag jellemzői az egyes halmazállapotok főbb tulajdonságaitól
az alábbi lényeges eltérést mutatják:
- gázhalmazállapottól: az alkotóelemek egymással állandó érintkezésben vannak
és saját térfogattal rendelkezik;
- folyékony halmazállapottól: részben önálló alakja van;
- gáz- és folyékony halmazállapottól: az alkotóelemek relatív, ütközésmentes
nyugalomban vannak és bennük nyugvó súrlódó erő – nyíróerő – ébred;
- szilárd halmazállapottól: az alkotóelemek között nincs vonzóerő, ezért önálló
alakkal csak részben rendelkeznek.
- 9 -
A szemcsés anyag az anyagi halmazállapotok lényegét érintő tulajdonságaiban olyan
minőségi eltérést mutat, mely külön halmazállapotként definiálását indokolja.
Az anyagi halmazállapotok idealizált esetének rövid, lényeget érintő a teljesség
igénye nélküli – meghatározása az alábbiakban foglalható össze.
Tökéletes gáz: egymástól távol mozgó, de véletlenszerűen rugalmasan ütköző,
egymásra erőhatást nem gyakorló molekulák (nemesgázoknál atomok) rendezetlen
halmaza.
Ideális folyadék: egymáshoz közel mozgó és folyamatosan rugalmasan ütköző
molekulák halmaza.
Kristályos szilárd: vibráló atomok, molekulák vagy ionok nagy erővel helyhez
kötött rendezett halmaza.
Ideális szemcsés: egymással állandóan érintkező, relatív mozdulatlan szemcsék
olyan halmaza, melyben az alkotóelemek közötti erőhatás a gravitációs súlyerőből
származó nyomó- és az azzal arányos súrlódó erőből tevődik össze, közöttük
kohéziós erő nincs.
A szemcsés anyag külön halmazállapot szerinti felfogása elsősorban mechanikai
szempontból fontos. (A halmazállapot szerinti kategorizálás alapja is mechanikai
eredetű: az alak- és térfogattartás oka az alkotóelemek közötti erőhatásból vezethető
le.) Az anyagi halmazállapotok mechanikai tulajdonságai egymástól
megkülönböztető lényegi eltérést mutatnak:
- a gázok a nyomásnövekedést térfogatuk jelentős csökkenésével követik (a
térfogat és a nyomás szorzata állandó hőmérséklet mellett konstans), tehát
nyomófeszültséget csak részben a rfogatváltozás rovására képesek elviselni. A
tökéletes gázokban az alkotóelemek közötti vonzóerő nem lép fel, ezért
húzófeszültség az anyagban nem ébredhet. A nyugvó nem áramló gázokban
nyírófeszültség nem ébred.
- a folyadékok kis kompresszibilitással rendelkeznek, mechanikai szempontból
összenyomhatatlannak tekinthetők, ezért nyomófeszültség elviselésére képesek. A
molekulák között ható vonzóerő az egymással állandóan ütköző molekulák
eltávolodását megakadályozza. Egyensúlyi, illetve stabil helyzet csak adott külső
nyomás mellett jön létre, azaz mechanikai szempontból a folyadék húzófeszültséget
nem képes elviselni. (p = 0 nyomás közelében a folyadék megszakad, molekulái
- 10 -
szétrepülnek és gázhalmazállapotba jutnak.) Ideális folyadékokban súrlódás nincs,
valóságos folyadékok belsejében nyugvó súrlódás szintén nem ébred.
- a szilárd testek összenyomhatatlannak tekinthetők és alkotóelemei jelentős
erővel kapcsolódnak egymáshoz, ezért húzó-, nyomó- és nyírófeszültségek
elviselésére képesek.
- az ideális szemcsés anyag kompresszibilitása kicsi, így nyomófeszültség
elviselésére képes. A kohézió nélküli szemcsés anyagban a nyomófeszültség mellett
csak nyírófeszültség ébred, az anyagban húzófeszültség nem lép fel.
A szemcsés anyag, mint anyagi állapot
A szemcsés anyag külön halmazállapot szerinti felfogását nemcsak az egyéb
halmazállapotoktól eltérő fizikai tulajdonságai indokolják, hanem az is, hogy a
szemcsés anyag az anyag egyik megjelenési formája, azaz az anyagnak egyik
meghatározott állapota.
A szemcsés anyag mint az anyag egész tömegéhez viszonyított kicsi, de nagy
számú szilárd testek halmaza többnyire nagy méretű szilárd anyag mechanikai
aprításával, aprózódásával keletkezik. Keletkezése, azaz az anyag szemcsés
állapotba hozása azonban nemcsak mechanikai úton lehetséges, minthogy a
természetben előforduló szemcsés anyagok sem csak mechanikai aprózódással
jönnek, vagy jöttek létre. A szemcsés anyag termodinamikailag is előállítható.
Ismeretes, hogy ha a folyadék molekuláinak kinetikai energiája egy küszöbértéket
meghalad, akkor gázhalmazállapotba jut, míg ha egy másik küszöbérték alá süllyed,
akkor szilárd halmazállapotba kerül és megindul a kristályosodás. A
halmazállapotokat jellemző termodinamikai állapothatározók küszöbértékei például
p t (nyomás hőmérséklet), diagramban ábrázolhatók. Az 1. ábrán a H
2
O p t
diagramja látható. A p t diagram hármaspontját és az origót összekötő görbe a
szublimációs görbe. A szilárd halmazállapotú jég fázisból a gáz halmazállapotú gőz
fázisba például nyomáscsökkenéssel, a szublimációs görbe átlépésével jut az anyag.
Gőz fázisból viszont visszafelé átlépve a szublimációs görbét nem jég, hanem
szemcsés halmazállapotú keletkezik. A szemcsés anyag víz esetében a
- 11 -
lokális gócokban keletkező kristályosodás eredményeként jön létre. A folyamat
lokális kristályosodásnak nevezhető, melynek fizikai magyarázata abban van, hogy a
kis sebességgel (alacsony hőmérsékleten) transzlációs mozgást végző molekulák, a
1. ábra A H
2
O p - t diagramja
van der Waals féle erők vonzási körét nem képesek elhagyni például hőelvonás
következtében - , tehát a molekulák transzlációs mozgása megszűnik. A molekula
párba újabb molekulák ütközvén, azokat fogva tartva, kristályrácsot alkotnak, majd a
növekvő kristályok hozzák létre a szemcséket. A gázhalmazállapotban lévő
molekulák sűrűsége a szilárd halmazállapot molekulasűrűségéhez viszonyítva
nagyon kicsi, ezért az egymástól relatív távol, lokálisan kialakuló kristályosodási
folyamat elkülönülő szemcsék sokaságát hozza létre, melyek lecsapódva szemcsés
halmazt képeznek.
Állandó hőmérsékleten gáz fázisból szemcsés fázisba hőelvonás mellett juthatunk,
mely az olvadáshő és párolgáshő összege.
A halmazállapotok a p t diagram fázishatárain változnak. Ha a szublimációs görbét
a szilárd fázisból a gáz fázis irányába lépi át az anyag, gázt kapunk, viszont
megfordítva, gáz fázisból átlépve a görbét, szemcsés anyagot nyerünk. Tehát a
fázishatárok átlépésének iránya szerint a halmazállapotok a következők:
- 12 -
gáz lokális kristályosodás szemcsés olvadás folyadék párolgás
gáz;
viszont, ellenkező irányban:
gáz → kondenzálás folyadék → fagyás szilárd → szublimálás gáz.
Szemcsés fázisból szilárd fázisba azonos fázishatár kétszeri átlépésével jutunk:
szemcsés → olvadás folyadék → fagyás szilárd.
Folyadék fázisból szemcsés anyag közvetlenül is létrehozható, ha túlhűtött
folyadékba egyszerre sok, egymástól közel azonos távolságban levő kristálygócot
juttatunk. A kristálygócokból kiinduló kristálynövekedéseket a szomszédos
kristályok akadályozzák meg, melyek geometriai kristály elhelyezkedése nem
szimmetrikus vagy egybevágó, ezért a kristályok között rácserők nem, vagy csak
elvétve lépnek fel, azaz az egyes szemcsék belső kohéziós ereje lényegesen nagyobb
a szemcsék között esetlegesen ható kohéziós erőknél.
A szemcsés anyag alapvető fizikai tulajdonságai lényegesen eltérnek a kémiailag
azonos, de szilárd, folyékony vagy gáznemű állapotú anyagétól. Térfogatsúlya,
fénytörési, - és hangtani, elektromos, mechanikai, stb. tulajdonságai és
viselkedése, valamint az a tény, hogy a legtöbb anyag szemcsés állapotba hozható, a
szemcsés anyag külön halmazállapotkénti meghatározását indokolja.
- 13 -
Kohézió nélküli szemcsés anyagok fizikai-
mechanikai alaptörvényei
I. Kohézió nélküli szemcsés anyagokban csak nyomó- és nyírófeszültségek
ébredhetnek.
II. Nyugalomban levő, kohézió nélküli szemcsés anyagokban a függőleges irányú
nyomófeszültségek által ébresztett feszültségek a függőleges iránytól mért
0
90
zónában lefelé hatnak. (
az anyag súrlódási szöge.)
III. A kohézió nélküli szemcsés anyag önsúlyából származó oldalnyomás értéke a
mélység (h) és térfogatsúly (γ) szorzatának fele (
2
h
), iránya a vízszintestől az
anyagban ébredő súrlódási szöggel lefelé tér el, ha a felszín vízszintes és az adott
mélység felett az anyag a vízszintessel
szöget bezáró teret egyenletesen kitölti.
IV. A kohézió nélküli szemcsés anyagok mindaddig megtartják az őket jellemző
fizikai-mechanikai törvényeket, amíg alkotó elemeik, a szemcsék, megőrzik relatív
nyugalmukat. Amint a szemcsék relatív mozgásba kerülnek egymással ütköznek -,
a szemcsés anyagok a folyadékok fizikai-mechanikai törvényei szerint viselkednek.
A kohézió nélküli szemcsés anyagok fizikai-mechanikai törvényei statisztikai
jelleggel érvényesülnek, mert maga az anyag különböző szemcsék sokaságából áll.
- 14 -
I. törvény
Az I. törvény a kohézió nélküli szemcsés anyagok fizikai-mechanikai definíciója.
Az ideális folyadékokban csak nyomófeszültségek ébrednek, a kohézió nélküli
szemcsés anyagok csak nyomó- és nyírófeszültségek, g a szilárd testek nyomó-,
nyíró- és húzófeszültségek elviselésére képesek. A kohézió nélküli szemcsés
anyagok a szilárd testektől abban különböznek, hogy húzófeszültséget nem képesek
elviselni, az ideális folyadéktól viszont abban, hogy bennük nyírófeszültségek is
ébrednek. A folyadékok alkotóelemei ugyanakkor állandó relatív mozgásban vannak
egymással ütköznek -, míg a szemcsés anyagok alkotóelemei, a szemcsék relatív
nyugalomban vannak.
II. törvény
A II. törvény a függőleges irán nyomófeszültségek terjedésének irányát
fogalmazza meg. Kísérleti igazolását a szabad rézsű természetes állékonysága
nyújtja (2. ábra).
2. ábra A rézsű lapján lévő szemcse egyensúlyi határhelyzete
- 15 -
A szemcsékből álló halmazban a függőleges nyomófeszültséget a szemcsék önsúlya
hozza létre. Ha a rézsű lapján elhelyezkedő A jelű szemcsére - mely az egyensúly
határhelyzetében van -, a függőleges irányhoz viszonyítva
-nél nagyobb
szögben mutató feszültségvektor hatna a rézsű belsejéből, akkor a szemcse
elvesztené egyensúlyi helyzetét és lecsúszna.
3. ábra A függőleges irán nyomófeszültségek által ébresztett
feszültségek a vízszintessel
-nél nagyobb szöget zárnak be
A II. törvény helyességét további kísérletek bizonyítják (3. ábra). Amennyiben az A
jelű szemcsére a vízszinteshez képest
szögnél kisebb szöget bezáró
nyomófeszültség hatna, úgy a természetes rézsű hajlásszöge
-nél kisebb lenne. Ha
a függőleges irányú nyomófeszültség például vízszintes feszültséget indukálna, úgy
az a rézsű lapján lévő szemcséket lelökné. Az anyag elterülne és a 4. ábra szerinti
alakot venné fel. Ez azonban nem áll fenn.
4. ábra Ha a nyomófeszültségek vízszintes feszültségeket indukálnának,
akkor a szemcsés anyag elhelyezkedésének ilyennek kellene lenni
- 16 -
III. törvény
A III. törvényben foglaltak szerinti esetekben az oldalnyomás
2
h
, és iránya a
vízszintestől az anyag belsejében ébredő súrlódási szöggel lefelé tér el. Bizonyítása a
következő:
5. ábra Vízszintes térszín végtelen térnegyede
Az 5. ábra végtelen kiterjedésű vízszintes felszínű kohézió nélküli szemcsés
anyaghalmaz két egymásra merőleges függőleges síkkal elméletileg kimetszett
részét mutatja, (tehát a vízszintes térszín végtelen térnegyedét ábrázolja,) mely a
mechanikai vizsgálatok síkbeli elvégzésének lehetőségét biztosítja. A II. törvény
szerint az AB szakasz alóli anyagrészből csak az AB sík feletti anyagrész által
kiváltott reakciófeszültségek hathatnak az OA síkra. Amennyiben az OAB
háromszögben található szemcsés anyagot elvennénk, a vízszinteshez
szögben
hajló AB természetes rézsűszögben az anyag megállna. Az OA síkra, tehát csak az
OAB térrészben elhelyezkedő szemcsés anyag önsúlyából származhatnak a
feszültségek. Az AB síkon egyensúlyi határhelyzet áll fenn, a
hajlásszögű lejtőn
tg
súrlódási tényezővel rendelkező anyag még éppen nem csúszik le.
- 17 -
Amennyiben a
lejtőszöget egy igen kis
értékkel megnövelnénk, akkor a
felette levő anyag egyenletesen gyorsuló mozgással lecsúszhatna a
hajlásszögű lejtőn, azaz a tömegével és gyorsulásával egyenes arán erőhatást
gyakorolna az OA síkra. A szemcsés anyag jellegéből fakadóan végtelen sok
hajlásszögű lejtő létezik, mely feletti anyagok súlya a
szöggel növelt lejtőkön
fejtik ki az AO síkra ható lejtő iránfeszültségeket. Az 5. ábra szerint a Δh-val
növelt mélység eredményeként létrejövő
hajlásszögű lejtőn az ADC
szemcsés anyag a lejtőre önsúlyával (ΔG) és a felette levő anyag súlyával (G)
nehezedik. Az ADC anyagmennyiség a Δh szakaszon támaszkodik meg. A Δh
felületszakasz lejtőre merőleges vetülete
)cos(
hF
. Tekintve, hogy a
Δh igen kicsi, ezért ott a feszültségeloszlás egyenletesnek tekinthető, így az ott
ébredő lejtő irányú feszültségre felírható:
,
)cos)(sin(
F
GG
Az egységnyi hosszúságú térrészben a
,
2
2
ctg
h
G
és
,cos
sin2
1
h
h
G
azaz
,
2
ctgh
h
G
továbbá
).cos(
hF
Az egyenletben szereplő (
cossin
) is kifejezhető:
)cos()sin(
tg
,
),sinsincos(cos
cos
sin
sincoscossin
,sin
cos
sin
sincos
2
)sin(cos
cos
sin
22
,
- 18 -
.
cos
sin
A G, ΔG, ΔF és
cossin
értékeit a
-ra felírt összefüggésbe helyettesítve:
)cos(
cos
s in
s in
cos
22
2
h
hh
ctg
h
,
,
)cos (
cos
sin
)(
2
h
hhctg
h
,
)sinsincos(cos
cos
sin
)(
sin
cos
2
h
hh
h
,
s in
s in
cos
cossin
2
h
hhh
,
sin
cossin
2
2
h
tg
h
hhh
de
tg
az 5. ábra ACE háromszögéből kifejezhető:
,
sin
sin
cos
h
h
h
tg
,
sin
cossin
2
hh
h
tg
ezért
,
sin
sin
cossin
cossin
2
2
2
h
hh
h
h
hhh
,
sinsin
2
22
hhh
hhh
,
2 h
hhh
,
2
hh
- 19 -
ha Δh igen kicsi, azaz Δh 0, akkor α
, tehát
, azaz a feszültség
iránya a vízszintessel
szöget zár be.
Tehát
,
2
lim
0
h
h
azaz
2
h
.
A levezetés eredményeként megállapítható, hogy a feszültségeloszlás a mélység
függvényében lineáris.
Klasszikus értelemben vett feszültségről a szemcsés anyagok esetében azonban nem
beszélhetünk, mivel a szemcsék érintkezési pontjain keresztül adják át az
erőhatásokat, azaz egy-egy ponton, nem az adott irányra merőleges felületen. Nem
felületen, mert az anyag diszkontinium és a szemcsék csak pontokon érintkeznek
egymással. A feszültség értelme így egy felületre jutó átlagerőként értelmezhető és
ezek az átlagerők adódnak át egyik szemcséről a szomszédos szemcsékre. Ezen erők
iránya és nagysága egy adott felületen statisztikai átlagként érvényesül.
6.ábra A fal melletti szemcsére ható átlagerő felbontása vízszintes és
függőleges összetevőre
Vizsgáljuk meg, hogy az imént levezetett
a vízszintessel
szöget bezáró
feszültség egy függőleges falra mekkora erőhatást gyakorol. A 6. ábrán feltüntetett
- 20 -
szemcsére- melyet oldalról egy súrlódásmentes függőleges fal támaszt meg – a
szomszédos szemcséktől az érintkezési pontokon keresztül erőhatás érkezik. Ezen
erőhatás eredője egyezzen meg a
1
F
felületre számított
feszültség szorzatával,
azaz az erre a szemcsére ható nyomóerő nagyságát és irányát tekintve megfelel ezen
szemcsés anyag ebben a mélységében ható erő statisztikai átlagának. Ez a
szemcse nyomja a függőleges súrlódásmentes falat
x
F
2
vízszintes irányú erővel a
2
F
falszakaszon az érintkezési ponton. A
3
F
y
függőleges iránerőt az alatta
lévő szemcse illetve szemcsék veszik fel. A
1
F
,
2
F
és
3
F
szakaszok statisztikai
átlagban egyenlő felületek, mert a szemcsék alakját és elhelyezkedését tekintve
statisztikai átlagban gömbök, a gömbök bármely irányban vett vetületei pedig
azonos nagyságú felületek. (Ha egy szemcsés anyag – például rizs hosszúkás
szemcsékből áll, a szemcsék véletlenszerű elhelyezkedésére való tekintettel azok
bármely irányra vett vetületének átlaga r, azaz statisztikai átlagban a szemcsék
gömbnek tekintendők.)
Tehát a 6. ábra vektorháromszögére felírható
cos
12
FF
x
,
de mivel
21
FF
,
így
cos
x
.
A fenti megfontolás eredményéből következik, hogy a szemcsés anyagban a
feszültségek egy adott felületre számított átlagerők vektoriálisan felbonthatók
illetve összegezhetők. A
cos
x
egyenletből a nyugalmi nyomás tényezőjét a
helyettesítések után megkapjuk, azaz
h
y
cos
2
h
x
,
így
2
cos
.
A nyugalmi nyomás levezetésénél eddig csak a vízszintessel
szöget bezáró
irányra merőlegesen ható és önsúlyból származó feszültségek által keltett
- 21 -
nyírófeszültségeket vettük figyelembe. A vízszintes irányú feszültségkomponensek -
cos
2
h
x
- által kiváltott
y
nyírófeszültségek a függőleges irányú
feszültségeket csökkentik
tg
h
y
cos
2
-vel,
azaz
,
cos
sin
cos
2
h
y
így
sin
2
h
y
.
Tekintettel arra, hogy a szemcsés anyag belsejében felvett OA elméleti síkra (5.
ábra)
feszültségek párosával hatnak, ezért a függőleges irányú feszültségek
2
y
-nal csökkennek, tehát
yy
h
2
,
azaz
,sin
2
2
h
h
y
illetve
)sin1(
h
y
.
Tehát a nyugalomban levő kohézió nélküli szemcsés anyag belsejében ható
feszültségek ábrája megszerkeszthető (7. ábra).
7. ábra Nyugalmi helyzetben ható feszültségek
Amennyiben az 5. ábra szerinti OA sík a szemcsés anyag belsejében felvett elméleti
sík, akkor ott a súrlódás szöge
. Ebben az esetben az OA sík mindkét oldalára
,
- 22 -
a vízszintessel
szöget bezáró nyomófeszültség hat (7. ábra). Az OA síkon a
-k
elvileg vízszintes és függőleges komponensekre bonthatók (8. ábra). A vízszintes
összetevők
cos
2
h
x
értékűek, merőlegesek az OA síkra és kielégítik az akció-reakció törvényét. A
y
függőleges feszültségkomponensek pedig kölcsönösen az OA síkra szimmetrikusan
a függőleges feszültségeket -ra egészítik ki.
8. ábra Nyugalmi helyzetben a vízszintes és függőleges feszültségi összetevők
Amennyiben az 5. ábra szerinti OA sík súrlódásmentes fal, akkor az csak vízszintes
feszültséget képes felvenni, azaz
vízszintes összetevőjét, ami
cos
2
h
x
.
Ugyanakkor a
függőleges összetevője az OAB anyag függőleges
feszültségkomponensét -ra egészíti ki.
Ha az OA sík érdes, valóságos merev fal, mely az OAB anyagmennyiség
megtámasztására szolgál, akkor a nyugalmi nyomás kialakulása a következők szerint
értelmezhető.
Az OAB anyagmennyiségnek az OA fal mögé történő feltöltését követően nem
alakul ki azonnal a
2
h
értéke, mert a ferde feszültséghatás, illetve a falon ébredő
súrlódás miatt az OA síkon súlyerő-felvétel valósul meg. A súlyerő-felvétel
- 23 -
következtében az AB síkra ható erő csökken, ez így nem képes létrehozni a
2
h
értékű AB irányú feszültségeket. A frissen betöltött anyag konszolidációs
mozgásának befejeztével nyugalomba jut. A nyugalom eredményeként a falon
ébredő súrlódás nullára csökken, tehát a
feszültségek vízszintes és függőleges
összetevőjükre bomlanak. A függőleges összetevők az OAB anyagban a függőleges
irányú feszültségkomponenseket hγ-ra, illetve az OAB anyag súlt
ctg
h
2
2
-re
egészítik ki. Ekkor az OA falra a
feszültség vízszintes összetevője hat. Tehát a
nyugalmi nyomás vízszintes összetevője:
,cos
2
h
x
és így a nyugalmi nyomás tényezője (λ):
2
cos
IV. törvény
A IV. törvény kísérletileg bizonyítható.
A 9. ábrán bemutatott kísérlet eredményeként a szemcsék ütközése következtében a
szemcsés anyag a közlekedő edények törvényei szerint viselkedik.
9. ábra a) nyugalmi helyzet b) vibráció eredményeként kialakult helyzet
- 24 -
A 10. ábrán a γ térfogatsúlyú szemcsés anyagba helyezett γ
1
nagyobb és γ
2
kisebb
térfogatsúlyú test a vibráció, illetve szemcsék ütközése eredményeként az edény
aljára süllyed, illetve a szemcsés anyag felszínén úszik, tehát érvényesül Archimedes
törvénye.
10. ábra a) nyugalmi helyzet b) vibráció eredményeként kialakult helyzet
A vibráció következtében a szemcsés anyag alkotóelemei, a szemcsék egymáshoz
ütköznek és ennek hatására bennük a nyomás minden irányban hγ-ra változik.
- 25 -
Feszültségek a kohézió nélküli szemcsés
anyagokban
A III. törvény bizonyítási eljárásánál függőleges síkkal kimetszett vízszintes felszínű
térnegyed vizsgálatát végeztük el. Ha ez a sík a függőlegeshez képest az anyag felé
dől a vízszintessel β szöget zár be - , és a felszín vízszintes, akkor a korábbi
levezetést általánosítva meghatározható, hogy ezen halmaznak mekkora az
oldalnyomása a β szögű síkban.
11. ábra Vízszintes térszín ferde síkkal határolt végtelen térnegyede
- 26 -
A 11. ábra jelöléseit felhasználva a Δh-val növelt mélység eredményeként létrejövő
hajlásszögű lejtőn az ADC szemcsés anyag lejtőre önsúlyával (ΔG) és a
felette levő anyag súlyával (G) nehezedik. Az ADC anyagmennyiséget lecsúszás
ellen a Δh szakasz támasztja meg. Tekintve, hogy a Δh igen kicsi, ezért ott a
feszültségeloszlás egyenletesnek tekinthető, így az ott ébredő lejtő irányú
feszültségre felírható:
,
)cos)(sin(
F
GG
ahol a ΔF a Δh felületszakasz lejtőre merőleges vetülete.
12. ábra A 11. ábra
h
részlete 13. ábra A 11. ábra
F
részlete
Az egyenletben szereplő G, ΔG és ΔF egységnyi hosszúságú térrészre a 11., 12.,
illetve 13. ábrából kifejezhető:
),(
2
2
ctgctg
h
G
és
sin2
hm
G
,
ahol m a 11. ábra segítségével kifejezhető:
)sin(
zm
, és
,
)90cos(
0
h
z
így
),sin(
)90cos(
0
h
m
- 27 -
azaz
),sin(
sin
h
m
m értékét a ΔG-re felírt összefüggésbe helyettesítve:
.
sinsin
)sin(
2
hh
G
A ΔF értéke a 13. ábra segítségével kifejezhető:
,)(sin
zF
.)(sin
sin
h
F
A
cos
sin
cossin
egyenlőség II. törvény bizonyítása során került
levezetésre.
A G, ΔG, ΔF és
cossin
értékeit a σ
α
-ra felírt összefüggésbe behelyettesítve:
,
cos
sin
)(sin
sin
sinsin
)sin(
2
)(
2
2
h
hh
ctgctg
h
,
)(sin
sinsin
)sin(
)(
cos
sinsin
2
hctgctgh
h
h
,
sin)cos(cos)sin(
sin
sincoscossin
)cossin(
cos
sin
2
hctgh
h
h
,
)cos ()sin(
)cossin()cossin(
cos
1
2
ctg
ctghctgh
h
h
,
)cos()sin(
cossin
cos2
ctg
ctg
h
hhh
de
ctg
a 11. ábra ACE háromszögéből a 12. ábra ADF háromszögének
felhasználásával kifejezhető:
m
AFCD
m
AE
ctg
,
ahol:
sin
h
CD
és
)cos(
zAF
,
- 28 -
de
sin
)90cos(
0
hh
z
,
ezért
)cos(
sin
h
F
,
így
,
)cos(
sinsin
m
hh
ctg
mivel
),sin(
sin
h
m
,
)sin(
sin
)cos(
sinsin
h
hh
ctg
)sin(sin
)cos(sinsin
h
hh
ctg
,
);(
)sin(sin
sin
ctg
h
h
ctg
ctg
értékét
összefüggésébe behelyettesítve:
,
)cos (
)sin(
)sin()cos (
)sin(sin
)sin(sin
cossin
cos2
h
h
ctg
h
hhh
,
)cos()cos(
sin
sin
cossin
cos2
h
h
ctg
h
hhh
cossin
sin)cossin)((
2
h
ctghhh
,
),1(
2
tgctg
hh
ha Δh igen kicsi, azaz Δh 0, akkor α
, tehát
, azaz a feszültség
iránya a vízszintessel
szöget zár be.
Tehát
),1(
2
lim
0
tgctg
h
h
- 29 -
azaz
tg
tgh
1
2
A
vízszintes összetevője pedig:
)
sin
(cos
2
tg
h
h
.
A sík vízszintessel bezárt hajlásszögének, β-nak három különleges értékét vizsgálva
megállapítható, hogy ha
, akkor
0
, azaz szabad rézsűben megtámasztás
nélkül megáll a kohézió nélküli szemcsés anyag.
Ha
0
90
, akkor e síkra ható nyugalmi nyomás értéke:
2
h
illetve
cos
2
h
h
.
Ha
2
45
0
, akkor a síkra ható nyugalmi nyomás értéke:
sin1
1
2
h
illetve
2
45
2
0
tg
h
h
.
- 30 -
Aktív feszültségi állapot
Az aktív feszültségi állapot kialakulása
Nyugalomban levő, kohézió nélküli szemcsés anyagot megtámasztó függőleges fal
kismértékű vízszintes irányú elmozdulása – elbillenése az anyagban expanziót
okoz. A vízszintes irányban történő támfalelmozdulást az anyag mozgása fellazulva
követi, mely az anyag belsejének egy adott pontja szempontjából relatíve két irányú
elmozdulásként jelentkezik. Az expanziót követő elmozdulás eredményeként a
nyugalmi nyomás vízszintes feszültségkomponensei által mobilizált
nyírófeszültségek hatása megszűnik (felszakad). Az anyag belsejében a relatíve két
irányú elmozdulás a függőleges irányú nyírófeszültségeket párosával szakítja fel,
ezáltal a függőleges feszültség -ra növekszik. Ezzel egyidejűleg az anyag
konszolidációs mozgása is bekövetkezik.
14. ábra Feszültségi modell nyugalmi helyzetben
- 31 -
A 7. illetve 8. ábra függőleges feszültsége (nyugalmi helyzet) felbontható két azonos
irányú és nagyságú feszültségre (14. ábra). Az így nyert feszültségi modell
változásával magyarázható a vízszintes felületű, kohézió nélküli szemcsés
anyagokban az aktív feszültségi állapot kialakulása. Az expanzió hatására felszakadt
nyírófeszültségek a 14. ábra feszültségi modelljét a 15. ábra szerintire változtatja.
15.ábra A feszültségi modell változása aktív állapotban
A konszolidációs mozgás a legnagyobb feszültségek, azaz a feszültségek eredőinek
irányában következik be. A feszültségpárok eredőinek iránya a 15. ábrából
leolvasható a vízszintessel
2
45
0
szöget és egymással
szöget zárnak
be. E feszültségi állapot a ható (eredő) feszültségi irányokat tekintve tehát
megegyezik a Rankine-féle aktív feszültségi állapottal. A konszolidációs mozgást az
1
R
feszültség indítja meg. E mozgást az
1
R
feszültségre merőleges
2
R
feszültség
tg
-szerese csökkenti, azaz az
1
R
feszültség nyírófeszültséget mobilizál. A
vízszinteshez
2
45
0
szögben hajló irányban érvényesülő K feszültség nagysága
tehát
.
21
tgRRK
Az
1
R
feszültség két feszültség. Az
1
R
és
2
R
feszültség a 16. ábra feszültségi vektor
ábráiból kifejezhető.
Az
1
R
feszültség két feszültség összegeként jelentkezik, melynek erre az irányra vett
feszültség-komponenseinek összege (
2
R
) ébreszti a nyírófeszültséget.
- 32 -
16. ábra Az eredő feszültség által megindított mozgás nyírófeszültséget mobilizál
,
2
45sin
2
2
0
1
h
R
és
,
2
45cos
2
2
0
2
h
R
így
.
2
45cos
2
45sin
00
htghK
A K eredő feszültség vízszintes komponense:
,
2
45cos
0
KK
h
,
2
45cos
2
45cos
2
45sin
0200
tghhK
h
,sin1
2
1
2
452sin
2
1
0
tghK
h
mert
,sin1
2
1
2
45cos
02
ugyanis
,
2
sin
2
cos
2
2
2
45cos
2
02
- 33 -
,
2
cos1
2
cos1
2
1
2
45cos
2
02
2
cos1
2
cos1
2
cos1
2
2
cos1
2
1
,
,
4
cos1
21
2
1
2
.sin1
2
1
,s in1
cos
sin
cos
2
h
K
h
,
cos
sin1sincos
2
2
h
K
h
,
cos
sinsincos
2
22
h
K
h
,
cos
sin1
2
h
K
h
2
45
2
0
tg
h
K
h
.
A K eredő feszültség függőleges komponense
v
K
.
,
2
45sin
0
KK
v
2
45cos
2
45sin
2
45sin
0002
htghK
v
,
mivel
sin1
2
1
2
45sin
02
és
cos
2
1
2
45cos
2
45sin
00
,
így
,cossin1
2
1
tghK
v
,cos
cos
sin
sin1
2
1
hK
v
.
2
h
K
v
- 34 -
A K eredő feszültség
22
vh
KKK
,
1
2
45
2
02
tg
h
K
,
2
45cos
2
45cos
2
45cos
2
45sin
2
02
02
02
02
h
K
,
,
2
45cos
2
45cos
2
45sin
2
02
0202
h
K
,
2
45cos
1
2
02
h
K
.
2
45cos
1
2
0
h
K
A K értékét összehasonlítva a
értékével mely
2
h
- belátható, hogy a K
nagyobb. Ezért expanzió esetén illetve a szemcsés anyagot megtámasztó fal
jelentősebb elmozdulása esetén az anyag mozgási iránya a vízszintessel
2
45
0
szöget zár be.
Az expanzió következtében tehát a mozgást elindító feszültség a 17. ábra szerinti.
17. ábra Aktív állapotban a mozgást elindító feszültség
- 35 -
A mozgás a feszültségek eredőinek irányában, tehát a vízszintessel
2
45
0
szöget
bezáró irányban valósul meg. Az anyag teljes mennyiségében mozog, azaz végtelen
sok a vízszinteshez
2
45
0
szögben hajló csúszólap alakul ki.
A K eredő feszültség vízszintes összetevője
x
, azaz
2
45sin
2
45cos
00
KK
x
,
2
45cos
2
45sin
2
0
0
h
x
,
2
45
2
0
tg
h
x
.
Függőleges támfalra ható nyomás
Ha a vízszintes felszínű kohézió nélküli szemcsés anyagot valóságos súrlódásos
függőleges fal támasztja meg és elmozdulása következtében az anyagban expanzió
következik be, a falra ható feszültségek a falon ébredő súrlódás szögének (δ)
ismeretében meghatározhatók:
A falra
nagyságú és a vízszintessel δ szöget bezáró feszültség hat. E feszültség
sin
-szorosa csökkenti a
2
h
függőleges feszültséget
sin
2
h
-ra. A
függőleges feszültséggel egyenesen arányos a vízszintes feszültség összetevő: a
cos
, éppen úgy, mint ahogy az anyag belsejében ható feszültségi modellben a
- 36 -
2
h
függőleges és a
cos
2
h
vízszintes feszültségi összetevő aránya állandó. Tehát
az aránypár felírható:
cos
sin
2
cos
2
2
h
h
h
.
A
kifejezhető:
cossincos
22
cos
2
hhh
,
cos
2
cossincos
h
,
cos
2
)cossin(cos
h
,
coss incos
cos
2
h
.
A
vízszintes összetevője
h
:
cos
h
,
coss incos
coscos
2
h
h
,
cos1
cos
2
tg
h
h
.
A kapott eredmény megmutatja, ha a támfalon nem ébredne súrlódás, úgy arra a
nyugalmi nyomás hatna; megfordítva: a nyugalmi nyomás kialakulásakor a támfalon
nem ébred súrlódás. Ezt a modellkísérletek tapasztalatai igazolják.
Ha a támfalon ébredő súrlódás megegyezne a szemcsés anyag belsejében ébredő
súrlódással, azaz
, akkor a támfalra az az aktív nyomás hatna, amely az anyag
belsejében is uralkodik aktív feszültségi állapotban. Ha a
nem éri el a
értékét,
úgy a támfal mellett átmeneti a nyugalmi és aktív nyomás közötti állapot
uralkodik.
- 37 -
Száraz homokkal kohézió nélküli szemcsés anyaggal a múltban többen végeztek
kísérleti méréseket az oldalnyomás meghatározására. Pontosság és a modell mérete
szempontjából Terzaghi 1929-ben elkezdett kísérletei emelkednek ki közülük, ahol a
támfal 2,1 méter magas és 4,2 méter hosszú merev vasbetonszerkezet volt. A
homokszekrény űrtartalma 37
3
m
volt és a fal elmozdulását 0,0025 mm
pontossággal mérték. A kísérleti eredményeket az alábbiak szerint foglalhak össze:
Amíg a támfal mozdulatlan volt, addig arra
2
42,0
2
0
h
E
nagyságú és vízszintes
irányú nyugalmi nyomás hatott. A falnak kismértékű elmozdulásakor az
oldalnyomás lecsökkent, majd a támfal további elmozdulása, elbillenése
következtében az oldalnyomás vízszintes összetevője
2
29,0
2
h
érték közelében
állandósult, miközben a támfalon ébredt súrlódás szögének tangense
54,0
tg
érték közelében mozgott. A homokban kialakult az expanzió, a fellazulás és a térszín
a elmozduló fal közelében lesüllyedt.
A mért értékek jól egyeznek az imént levezetett elméleti képletekkel kapott
eredményekkel:
- a nyugalmi nyomás tényezője,
42,0
volt,
2
cos
,
42,02cos
,
0
85,32
, mely száraz homokra jellemző érték.
- a súrlódásos támfalra ható nyomás vízszintes feszültségi összetevője:
cos1
cos
2
tg
h
h
,
a mért érték
84,0cos
és
54,0
tg
,
84,054,01
84,0
2
h
h
,
2889,0
h
h
,
azaz a számított 0,2889≈0,29 körüli mért értékkel igen jó egyezést mutat.
- 38 -
Boltozatképződés szemcsés anyagokban
A boltozatképződés jelensége a szemcsés anyagok mechanikájának egyik
alapkérdése. A boltozat kialakulásának elméleti tisztázása lehetővé teszi az olyan
közvetlen gyakorlati probléma megoldását, mint a szemcsés anyagok ömlesztett
silós tárolását, illetve a biztonságos kitárolást. A silók garataiban az anyag gyakran
összeáll, vagy boltozat képződik, mely a gravitációs kitárolást megakadályozza.
A boltozat kialakulásának feltétele
A boltozat kialakulását minden esetben az anyag egy részének elmozdulása váltja ki.
Ez a mozgás származhat a konszolidációból, tömörödésből vagyldául a garat
alján levő zsilip kinyitását követő anyagmozgásból. Az elmozdulás következtében az
anyagban levő feszültségek átrendeződnek úgy, hogy a helyben maradó
megtámasztó rész veszi át az elmozduló rész feszültségeinek egy részét is. Ha az ily
módon kialakult feszültségek elég nagyok és irányuk is megfelelő, akkor az
anyagban kialakul a boltozat, mely a további elmozdulást már meggátolja. Az
elmozdulás boltozatkialakító hatása akkor érvényesül, ha az anyagnak elmozdulása
során fajlagos alakváltozást kell elszenvednie, azaz például szűkülő
keresztmetszeten kell átjutnia.